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《變系數(shù)線性常微分方程的求解》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、變系數(shù)線性常微分方程的求解張慧敏，數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院摘要：眾所周知，所有的常系數(shù)一階、二階微分方程都是可解的，而變系數(shù)二階線性微分方程卻很難解，至今還沒有一個(gè)普遍方法。冪級(jí)數(shù)解法是一個(gè)非常有效的方法，本文重點(diǎn)討論二階變系數(shù)線性常微分方程的解法，從冪級(jí)數(shù)解法、降階法、特殊函數(shù)法等方面探究了二階微分方程的解法，簡單的介紹了幾種高階微分方程的解法，并討論了懸鏈線方程等歷史名題。關(guān)鍵詞：變系數(shù)線性常微分方程；特殊函數(shù)；懸鏈線方程；冪級(jí)數(shù)解法Solvinglinearordinarydifferentialequationswithvariable
2、coefficientsHuiminZhang,SchoolofMathematicsandComputerScienceAbstract：Asweknow,allofordinarydifferentialequationsoffirst,secondorderdifferentialequationswithconstantcoefficientsaresolvable.However,thelineardifferentialequationsofsecondorderwithvariablecoefficientsareveryd
3、ifficulttosolve.Sofarthereisnotauniversalmethod.Themethodofpower-seriessolutionisaveryefficientmethod.Thisarticlefocusesonsolvinglinearordinarydifferentialequationsofsecondorderwithvariablecoefficients,andexploringthesolutionofintermsofpower-seriessolution,themethodofredu
4、cingorders,themethodofspecialfunctions.Also,thispaperappliestheabovemethodstosolveseverallineardifferentialequationsofhigherorderandespeciallydiscussesthefamouscatenaryequation.Keywords：Linearordinarydifferentialequationswithvariablecoefficients;SpecialFunctions;catenarye
5、quation;PowerSeriesSolution.I前言隨著科學(xué)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，常微分方程在越來越多的領(lǐng)域內(nèi)有著重要的作用，例如化學(xué)，生物學(xué)，自動(dòng)控制，電子技術(shù)等，都提出了大量的微分方程問題，同樣在社會(huì)科學(xué)的領(lǐng)域也存在著微分方程問題。此外，微分方程與數(shù)學(xué)的其他分支的關(guān)系也是非常密切的，他們往往互相聯(lián)系，互相促進(jìn)，例如幾何學(xué)就是常微分方程理論的豐富源泉之一和有力工具，對(duì)微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。反過來，微分方程進(jìn)一步發(fā)展的需要，也推動(dòng)著其他數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。眾所周知，所有的常系數(shù)一階、二階微分方程都是可解的，而變系數(shù)二階線性微
6、分方程卻很難解，除了近似解法外，至今還沒有一個(gè)普遍方法。因此，變系數(shù)二階線性微分方程的求解在微分方程理論之中有著十分重要的地位，尋求一種簡便的計(jì)算方法是完全有必要的。14第一部分二階線性微分方程的解法探究一、冪級(jí)數(shù)解法⑴一般微分方程的冪級(jí)數(shù)解法二階變系數(shù)齊次線性微分方程的求解問題可歸結(jié)為尋求它的一個(gè)非零解。由于方程的系數(shù)是自變量的函數(shù)，我們不能用之前的代數(shù)方法去求解。但是，從微積分學(xué)中知道，在滿足某些條件下，可以用冪級(jí)數(shù)來表示一個(gè)函數(shù)。因此，自然想到，能否用冪級(jí)數(shù)來表示微分方程的解，下面先以兩個(gè)例子來探討一下。例1.1.1求方程的滿足初值
7、條件及的解?！?】解設(shè)(1.1)為方程的解。首先，利用初值條件，可以得到，因而將的表達(dá)式代入原方程，合并的各同次冪的項(xiàng)，并令各項(xiàng)系數(shù)等于零，得到因而最后得對(duì)一切正整數(shù)成立。將的值代回（1.1）就得到14這就是方程的滿足所給初值條件的解。在上例中方程顯然滿足定理的條件，系數(shù)和可看作是在全數(shù)軸上收斂的冪級(jí)數(shù)，故方程的解也在全數(shù)軸上收斂。但有些方程卻未必，例如階貝塞爾方程(1.2)這里為非負(fù)常數(shù),不一定是正整數(shù)。在此⑵階貝塞爾方程例1.1.2求解階貝塞爾方程（1.2）?！?】解將方程改寫成易見，按展成的冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為從而方程有形如(1.3)的
8、解，這里而和是待定常數(shù)。將（1.3）代入（1.2）中，得把同次冪項(xiàng)歸在一起，上式變?yōu)榱罡黜?xiàng)的系數(shù)等于零，得一系列的代數(shù)方程(1.4)因?yàn)楣蕪模?.4）的第一個(gè)方程解得的兩個(gè)值和先考慮14時(shí)方程
