變系數(shù)二階線性微分方程求解探究

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1、變系數(shù)二階線性微分方程求解探究摘要變系數(shù)二階線性微分方程是大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，本文對(duì)變系數(shù)二階線性微分方程的解法進(jìn)行探究，得到了幾種求解方法。筆者通過求解該類方程的過程，以進(jìn)一步指導(dǎo)大學(xué)數(shù)學(xué)教育的進(jìn)步。關(guān)鍵詞變系數(shù)二階線性微分方程解法常數(shù)變易法中圖分類號(hào)：0175.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A變系數(shù)二階線性微分方程的解法是大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，既是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，掌握此類方程的解法是學(xué)習(xí)者應(yīng)有的能力。筆者根據(jù)自己的知識(shí)水平，首先對(duì)變系數(shù)二階線性微分方程的構(gòu)造和概念進(jìn)行詳細(xì)闡述，隨后列舉一個(gè)變系數(shù)二階線性微分方程的例子進(jìn)行關(guān)于降階法的詳細(xì)

2、解法指導(dǎo)。1變系數(shù)二階線性微分方程的應(yīng)用隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)知識(shí)越來(lái)越多地被應(yīng)用到這些信息技術(shù)領(lǐng)域。無(wú)論在電力網(wǎng)絡(luò)，交通運(yùn)輸業(yè)，電子技術(shù)，工程造價(jià)，化學(xué)，自動(dòng)運(yùn)輸網(wǎng)，生物學(xué)，建筑工程，數(shù)字通訊網(wǎng)中，還是簡(jiǎn)單的日常生活，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活問題的現(xiàn)象已經(jīng)越來(lái)越廣泛。從古至今，人們對(duì)解答微分方程的問題已經(jīng)深有研究,針對(duì)變系數(shù)二階線性微分方程也有一定的解決方法。但是，由于是二階的微分方程，計(jì)算量很大，幕的次數(shù)較高，所以解決的時(shí)候會(huì)比較麻煩。而降階法的運(yùn)用在解決變系數(shù)二階線性微分方程中還是較為方便快捷的。用降階法解決這類問題，

3、最關(guān)鍵的是要把二階線性微分方程如何轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程，當(dāng)然之前也要了解這個(gè)方程能否可以進(jìn)行降階轉(zhuǎn)化。此外，數(shù)學(xué)的其他分支與變系數(shù)二階線性微分方程也是有密切關(guān)系的，二者可以互相促進(jìn)，共同發(fā)展。眾所周知，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，幾何學(xué)的解決很多就要用到變系數(shù)二階線性微分方程的知識(shí)，所以說，變系數(shù)二階線性微分方程的進(jìn)步發(fā)展與完善，對(duì)于幾何學(xué)來(lái)說也是至關(guān)重要的；在另一個(gè)角度說，也就是，變系數(shù)二階線性微分方程的發(fā)展可以有力地促進(jìn)數(shù)學(xué)領(lǐng)域其他分支的進(jìn)步。2一種求解變系數(shù)二階線性微分方程的方法利用變量替換法可以使方程降價(jià)進(jìn)行求解，利用這種方法解決

4、變系數(shù)二階線性微分方程也是可以的。例如下面這個(gè)方程：+()+()=0A設(shè)其中的非零特解1是已知的，并讓1作替換變量，令1二1B其中，為未知的函數(shù)，求導(dǎo)為求二階導(dǎo)數(shù)可得：=1+2+帶入式可得：1+(2+()1)+(+()+()1)=0C易知，這是一個(gè)關(guān)于的二階線性齊次方程，每一項(xiàng)系數(shù)都為x的已知函數(shù)，因?yàn)槭鞘降慕?，所以其中?()+()1=0所以，式可以轉(zhuǎn)化為1+(2+()1)=0替換變量，使得=,由此可得：1+(2+()1)=0下一步，分離變量，可得：二-[+()]兩邊積分，得到通解：其中，為任意一個(gè)常數(shù)。再一次進(jìn)行積分運(yùn)算得：二

5、+帶回原來(lái)的變量得到式的通解：=[+]這個(gè)公式是二階線性齊次方程式中的一種公式，對(duì)于這類方程，解答的過程中采用降價(jià)法，已知一個(gè)非零特解，通過兩次轉(zhuǎn)變之后，就可以把二階線性微分方程轉(zhuǎn)化成一階形式，這樣就可以求得通解。當(dāng)然，對(duì)于非齊次微方程，運(yùn)用這種方法解決也是可以的，知道了一個(gè)特解就可以做出方程轉(zhuǎn)化，進(jìn)行降價(jià)，這種轉(zhuǎn)變并不影響方程的結(jié)構(gòu)。其實(shí)，所有的系數(shù)微方程都是可以解決的，但是，對(duì)于變系數(shù)二階線性微分方程來(lái)說，由于計(jì)算量比較大，除了近似的解法之外，還沒有發(fā)現(xiàn)更為普遍的解決方法。所以說，發(fā)現(xiàn)一種較為簡(jiǎn)便的方法是十分必要的。綜上所述，

6、常系數(shù)微方程在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域占有十分重要的地位，變系數(shù)二階線性微分方程在自然科學(xué)、物理學(xué)等科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用也是非常廣泛的。運(yùn)用降階法解決這類問題是比較有效的，加大對(duì)變系數(shù)二階線性微分方程的研究力度，尋求更為便捷的解決方式，不僅對(duì)于數(shù)學(xué)研究和其他數(shù)學(xué)分支的進(jìn)一步發(fā)展有重要意義，而且可以對(duì)其他相關(guān)領(lǐng)域的研究進(jìn)步做出更大的貢獻(xiàn)?？梢哉f，二階變系數(shù)線性微方程已經(jīng)取得了很大的成就，但是，這些并不能滿足相關(guān)研究領(lǐng)域的需要，還需要我們繼續(xù)付出更大的努力，尋求更好的解決方法，促進(jìn)這一學(xué)科的完善，使得我國(guó)這方面的成就躋身于世界數(shù)學(xué)研究的巔峰之上。參

7、考文獻(xiàn)武漢：武漢科技大學(xué),2009.[1]夏敦行.二階變系數(shù)線性微方程方程的解法[D].[2]權(quán)大學(xué)，趙臨龍?變系數(shù)二階線性微分方程一個(gè)新的可解類型再討論[J]?大學(xué)數(shù)學(xué),2007(6):121-124.