函數(shù)的單調性與最值教案

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1、授課時間檢測平均分第2講　函數(shù)的單調性與最值【2013年高考會這樣考】1．利用函數(shù)的單調性求單調區(qū)間．2．利用函數(shù)的單調性求最值和參數(shù)的取值范圍．【復習目標】本節(jié)復習時，首先回扣課本，應從“數(shù)”與“形”兩個角度來把握函數(shù)的單調性和最值的概念，重點解決：(1)函數(shù)單調性的判斷及其應用；(2)求函數(shù)的最值；再者復習時也必須精心準備，對常見題型的解法要熟練掌握?；A梳理1．函數(shù)的單調性(1)單調函數(shù)的定義設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，①若，則f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；②若，則f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．(2)單調性、單調區(qū)間

2、的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做f(x)的單調區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件①對于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①對于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M結論M為最大值M為最小值一個防范函數(shù)的單調性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制．例如函數(shù)y＝分別在(－∞，0)，(0，＋∞)內都是單調遞減的，但不能說它在整個定義域即(－∞，0)∪(0，＋∞)內單調遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調減區(qū)間為(－∞，0)和(

3、0，＋∞)，不能用“∪”連接．兩種形式設任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么①＞0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；＜0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．四種方法函數(shù)單調性的判斷(1)定義法：取值、作差、變形、定號、下結論．(2)復合法：同增異減，即內外函數(shù)的單調性相同時，為增函數(shù)，不同時為減函數(shù)．(3)導數(shù)法：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．第6頁(4)圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調性．五問一問自己(1)“函數(shù)在區(qū)間上單調增”與“函

4、數(shù)的遞增區(qū)間是”就一回事嗎？NO(2)求值域有哪些方法？你能夠說出6種以上嗎？直接法、反函數(shù)法、配方法、換元法、均值不等式法，判別式法、單調函數(shù)法、三角代換法、復合函數(shù)法、導數(shù)法。(3)分段函數(shù)的值域怎樣求？分段求再綜合雙基自測1．(人教A版教材習題改編)函數(shù)f(x)＝1－(　　)．A．在(－1，＋∞)上單調遞增B．在(1，＋∞)上單調遞增C．在(－1，＋∞)上單調遞減D．在(1，＋∞)上單調遞減答案　B2．若y＝(2k＋1)x＋b是R上的減函數(shù)，則有(　　)．A．k＞B．k＜C．k＞－D．k＜－解析　由題意，知2k＋1＜0.∴k＜－.答案　D3．如果二次函數(shù)y＝3x2＋2(a－1)x＋b在

5、區(qū)間(－∞，1)上是減函數(shù)，那么(　　)．A．a(chǎn)＝－2B．a(chǎn)＝2C．a(chǎn)≤－2D．a(chǎn)≥2解析　二次函數(shù)的對稱軸為x＝－(a－1)，則－(a－1)≥1.即a≤－2.答案　C4．(2011·長春模擬)下列四個函數(shù)中，在(0，＋∞)上為增函數(shù)的是(　　)．A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－D．f(x)＝－

6、x

7、解析　結合函數(shù)的圖象可知C正確．答案　C5．(2011·江蘇)函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調增區(qū)間是____________________________．答案　　考向一　函數(shù)單調性的判斷【例1】?判斷函數(shù)f(x)＝x＋(a＞0)在(0，＋∞)上的單調性．

8、[審題視點]可采用定義法或導數(shù)法判斷．解　法一　設x1＞x2＞0，則f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)當≥x1＞x2＞0時，x1－x2＞0，＜0，有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，第6頁此時，函數(shù)f(x)＝x＋(a＞0)在(0，]上為減函數(shù)；當x1＞x2≥時，x1－x2＞0，＞0，有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此時，函數(shù)f(x)＝x＋(a＞0)在[，＋∞)上為增函數(shù)；綜上可知，函數(shù)f(x)＝x＋(a＞0)在(0，]上為減函數(shù)；在[，＋∞)上為增函數(shù)．法二　f′(x)＝1－，令f′(x)＞0則1－＞0，

9、∴x＞或x＜－(舍)．令f′(x)＜0，則1－＜0，∴－＜x＜.∵x＞0，∴0＜x＜.∴f(x)在(0，)上為減函數(shù)；在(，＋∞)上為增函數(shù)，也稱為f(x)在(0，]上為減函數(shù)；在[，＋∞)上為增函數(shù)．對于給出具體解析式的函數(shù)，證明其在某區(qū)間上的單調性有兩種方法：(1)可以結合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)求解；(2)可導函數(shù)則可以利用導數(shù)解之．但是，對于抽象函數(shù)單調性的證明，一般采用定義法進