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《八年級數(shù)學下冊 19.1 多邊形內(nèi)角和導(dǎo)學案 (新版)滬科版》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、多邊形內(nèi)角和1．多邊形及正多邊形(1)多邊形的定義在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．在定義中應(yīng)注意：①若干條；②首尾順次相接，二者缺一不可．一個多邊形，如果把它任何一邊雙向延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的多邊形叫做凸多邊形．(2)多邊形的有關(guān)概念多邊形的邊、內(nèi)角、頂點、對角線、內(nèi)角和的含義與三角形相同．邊：組成多邊形的線段叫做多邊形的邊．頂點：相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點．對角線：在多邊形中，連接不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡稱多邊形的角．如圖1所示
2、．圖1多邊形通常以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形．三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數(shù)最少的多邊形．多邊形的表示方法與三角形、四邊形類似，可以用表示它的頂點的字母來表示，如可順時針方向表示，也可逆時針方向表示，如圖1，可表示為五邊形ABCDE，也可表示為五邊形EDCBA.(3)正多邊形①多邊形中，如果各條邊都相等，各個內(nèi)角都相等，這樣的多邊形叫做正多邊形．如圖2中的多邊形分別為：正三角形、正四邊形(即正方形)、正五邊形、正六邊形、正八邊形．圖2正多邊形必須具備“各邊相等、各角也相等”這兩個條件，缺一不可．如各角相等的四邊形是長方形，不是正方形；各邊相等的四
3、邊形是菱形(20．3節(jié)講到)，也不是正方形．只有各角相等，各邊也相等的四邊形才是正方形．②正多邊形都是軸對稱圖形，邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形(20．4節(jié)講到)．(4)多邊形的對角線的條數(shù)根據(jù)多邊形的對角線的定義，從四邊形的一個頂點可以引一條對角線；從五邊形的一個頂點可以引兩條對角線，那么從n邊形的一個頂點可以引出(n－3)條對角線．n邊形共有n個頂點，共有n(n－3)條對角線，但每條對角線都算兩遍，所以n邊形共有條對角線．【例1】說出圖中各多邊形的名稱，指出每個多邊形的邊和角，并畫出其外角．(1)(2)解：(1)四邊形ABCD，邊有AB，BC，CD，DA；角有∠
4、DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA，如圖(1)中，四邊形ABCD的外角有∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8，共8個．(2)五邊形ABCDE，邊有AB，BC，CD，DE，EA；角有∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEA，如圖(2)中，五邊形ABCDE的外角有∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8，∠9，∠10，共10個．多邊形的內(nèi)角與多邊形的外角要嚴格區(qū)分，內(nèi)角在多邊形內(nèi)部，由相鄰的兩邊組成，多邊形的內(nèi)角的個數(shù)與多邊形的邊數(shù)相同；而外角在多邊形的外部，是在頂點處由多邊形的一邊與另一邊的延長線所形成的角，故在同一頂點處有兩個外角，它們是對頂角
5、，故多邊形的外角個數(shù)是邊數(shù)的2倍．應(yīng)注意的是由兩條邊的延長線所構(gòu)成的角不是多邊形的外角，如圖(1)中的∠EAF不是四邊形ABCD的外角．2．多邊形的內(nèi)角和(1)n邊形的內(nèi)角和公式n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°(n為不小于3的整數(shù))．由多邊形內(nèi)角和定理可知，多邊形的內(nèi)角和一定是180°的倍數(shù)，在解有關(guān)題目時，要注意應(yīng)用．(2)推導(dǎo)方法多邊形的內(nèi)角和公式的推導(dǎo)方法有很多，但都是將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的，即利用多邊形對角線或?qū)蔷€的一部分，可以把多邊形分割成若干個小三角形，再通過三角形的內(nèi)角和推導(dǎo)出多邊形的內(nèi)角和．這種轉(zhuǎn)化是化歸思想的體現(xiàn)，也是解決多邊形問
6、題的基本思想．下面提供三種常見的方法：方法一：如圖①所示，以多邊形的某一個頂點為端點，與其他頂點相連接構(gòu)成多邊形的對角線，把多邊形分割成(n－2)個小三角形．n邊形的內(nèi)角和恰好等于(n－2)個三角形的內(nèi)角和(n－2)·180°.方法二：如圖②所示，在n邊形中，取某邊上一點(非頂點)為端點，與其他頂點相連，把多邊形分割成(n－1)個小三角形．n邊形的內(nèi)角和等于(n－1)個三角形的內(nèi)角和減去點P處的一個平角，即(n－1)·180°－180°＝(n－2)·180°.方法三：如圖③所示，在n邊形的內(nèi)部任取一點，與多邊形的各頂點相連，把多邊形分割成n個小三角形．n邊形的內(nèi)角和等于
7、n個三角形的內(nèi)角和n·180°減去以O(shè)為公共頂點的n個角之和360°，即n·180°－360°＝(n－2)·180°.(3)內(nèi)角和定理的作用①已知邊數(shù)，求內(nèi)角和；②已知內(nèi)角和，求邊數(shù)．【例2】一個多邊形共有27條對角線，則這個多邊形是幾邊形？該多邊形的內(nèi)角和為多少度？分析：題目給出多邊形的對角線的條數(shù)，由n邊形對角線的總條數(shù)為可求邊數(shù)，再根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理可求出內(nèi)角和．解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則＝27，解得n1＝9，n2＝－6.∵n＞0，∴n＝9，∴該多邊形的內(nèi)角和為(9－2)×180°＝1260°.答：這個多邊形是九邊形，其內(nèi)角和
