《向量x教師》word版

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1、2009屆高三文科數(shù)學(xué)學(xué)案向量知識(shí)清單一、向量的有關(guān)概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度).2.向量的表示方法:⑴字母表示法:如等.⑵幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如,等.⑶坐標(biāo)表示法:在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量的起點(diǎn)O為在坐標(biāo)原點(diǎn),終點(diǎn)A坐標(biāo)為,則稱為的坐標(biāo),記為=.注:向量既有代數(shù)特征,又有幾何特征,它是數(shù)形兼?zhèn)涞暮霉ぞ?3.相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.兩向量與相等,記為.注:向量不能比較大小,因?yàn)榉较驔](méi)有大小.4.零向量:長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.零向量只有一

2、個(gè),其方向是任意的.5.單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.單位向量有無(wú)數(shù)個(gè),每一個(gè)方向都有一個(gè)單位向量.6.共線向量:方向相同或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:與任一向量共線.注:共線向量又稱為平行向量.7.相反向量:長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.二、向量的運(yùn)算(一)運(yùn)算定義①向量的加減法，②實(shí)數(shù)與向量的乘積，③兩個(gè)向量的數(shù)量積,這些運(yùn)算的定義都是“自然的”，它們都有明顯的物理學(xué)的意義及幾何意義.其中向量的加減法運(yùn)算結(jié)果仍是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量。研究這些運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)它們有很好地運(yùn)算性質(zhì),這些運(yùn)算性質(zhì)為我們用向量研究問(wèn)題奠定了基礎(chǔ),向

3、量確實(shí)是一個(gè)好工具.特別是向量可以用坐標(biāo)表示,且可以用坐標(biāo)來(lái)運(yùn)算,向量運(yùn)算問(wèn)題可以完全坐標(biāo)化.刻劃每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語(yǔ)言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn)算圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法+==記=(x1,y1),=(x1,y2)則=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=實(shí)數(shù)與向量的乘積=λλ∈R記=(x,y)則λ=(λx,λy)兩個(gè)向量的數(shù)量積記則·=x1x2+y1y2(二)運(yùn)算律加法：①(交換律);②(結(jié)合律)實(shí)數(shù)與向量的乘積：①;②;③第7頁(yè)共7頁(yè)2009屆高三文科數(shù)學(xué)學(xué)案兩個(gè)向量的數(shù)量積:①·=·;②(λ)·=·(λ)=λ(·);

4、③(+)·=·+·注：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算，例如(±)2=(三)運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論⑴平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),使，稱為的線性組合。①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底;②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和,并且這種分解是唯一的.這說(shuō)明如果且,那么.③當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí),就建立了平面直角坐標(biāo)系,因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起

5、點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=（x,y）；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)⑵兩個(gè)向量平行的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè)非零向量,則∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0,在這里,實(shí)數(shù)λ是唯一存在的,當(dāng)與同向時(shí),λ>0；當(dāng)與異向時(shí),λ<0。

6、λ

7、=,λ的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時(shí)，λ的符號(hào)與大小就確定了.這就是實(shí)數(shù)乘向量中λ的幾何意義。⑶兩個(gè)向量垂直的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：坐標(biāo)語(yǔ)言：設(shè)非零向量，則⑷兩個(gè)向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：①

8、即(求線段的長(zhǎng)度);②(垂直的判斷);③(求角度)。以上結(jié)論可以(從向量角度)有效地分析有關(guān)垂直、長(zhǎng)度、角度等問(wèn)題,由此可以看到向量知識(shí)的重要價(jià)值.注:①兩向量,的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)(其中)第7頁(yè)共7頁(yè)2009屆高三文科數(shù)學(xué)學(xué)案,這個(gè)數(shù)的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角的余弦有關(guān).②叫做向量在方向上的投影（如圖）.數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積等于的模與在方向上的投影的積.③如果,,則=,∴,這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.課前預(yù)習(xí)1．在中，2.平面內(nèi)三點(diǎn),若∥，則x的值為13.設(shè)，，是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：①(·)(·)=0②

9、

10、-

11、

12、<

13、

14、③(·)(·)不與垂直④(

15、3+2)·(32)=9

16、

17、2-4

18、2中，真命題是②④4.△OAB中,=,=,=,若=，t∈R，則點(diǎn)P在∠AOB平分線所在直線上5.已知,則實(shí)數(shù)x=____6___.6.已知?jiǎng)t_(-2,-6)____,_(4,-2)_____,與的夾角的余弦值是_____.7．在△中,,,若,則=.；8.已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點(diǎn)D和向量坐標(biāo)。D(1,1)=(-1,2)BACOFDE典型例題一、平面向量的實(shí)際背景與基本概念例1.如圖，設(shè)O是正六邊形