高考試題分類考點34空間直角坐標(biāo)系空間向量及其運算

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1、考點34空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運算解答題1.（2011·遼寧高考理科·Ｔ18）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）證明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值．【思路點撥】建立空間坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)向量來解題（I）；（II）先求法向量，再求兩個法向量的夾角的余弦值，最后確定二面角Q-BP-C的余弦值．【精講精析】如圖，以D為坐標(biāo)原點，線段DA的長為單位長，射線DA，OP,DC為x，y,z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.(Ⅰ)依題意有，，，則，，，所以，，即⊥，⊥.且故⊥平面.又平面，所以平面⊥平面.（II）依題意有，

2、=，=.設(shè)是平面的法向量，則即同理，因此可取-6-設(shè)是平面的法向量，則可取所以且由圖形可知二面角為鈍角故二面角的余弦值為2.（2011·江西高考理科·Ｔ21）（1）如圖，對于任意給定的四面體，找出依次排列的四個相互平行的平面，使得且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；（2）給定依次排列的四個相互平行的平面，其中每相鄰兩個平面間的距離為1，若一個正四面體的四個頂點滿足：求該正四面體的體積【思路點撥】（1）首先，則，即得四個平面符合要求.（2）以第（1）問中的四面體作為正四面體，通過坐標(biāo)系求出面，再根據(jù)點到面的距離公式求出正四面體的棱長，進而求得體積.【精講精析】-6-3.（2011.天津高考

3、理科.T17）如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且（Ⅰ）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角的正弦值；-6-（Ⅲ）設(shè)為棱的中點，點在平面內(nèi)，且平面，求線段的長．【精講精析】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點B為坐標(biāo)原點.依題意得（I）易得，于是所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）易知，設(shè)平面AA1C1的法向量，則即不妨令可得，同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量，則即不妨令，可得于是從而所以二面角A—A1C1—B1的正弦值為（III）由N為棱B1C1的中點，得-6-設(shè)M（a，b，0），則)，由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以線段BM的長為

4、方法二：（I）由于AC//A1C1，故是異面直線AC與A1B1所成的角.因為平面AA1B1B，又H為正方形AA1B1B的中心，可得因此所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）連接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1C1，所以≌，過點A作于點R，連接B1R，于是，故為二面角A—A1C1—B1的平面角.在中，連接AB1，在中，，-6-從而所以二面角A—A1C1—B1的正弦值為（III）因為平面A1B1C1，所以，取HB1中點D，連接ND，由于N是棱B1C1中點，所以ND//C1H且.又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故又所以平面MND，連接M

5、D并延長交A1B1于點E，則由得，延長EM交AB于點F，可得連接NE.在中，所以可得連接BM，在中，-6-