資源描述:
《常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、§11-2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù):(1)顯然,部分和數(shù)列單調(diào)增加:1.收斂準(zhǔn)則定理1正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分?jǐn)?shù)列有界.例1判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性解有上界級(jí)數(shù)收斂2.比較審斂法定理2設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且若收斂,則收斂;反之,若發(fā)散,則發(fā)散.分析:,則的部分和即有界,由TH1知收斂。反之,設(shè)發(fā)散,則必發(fā)散.因?yàn)槿羰諗?由上面已證結(jié)論知也收斂,與假設(shè)矛盾.6推論設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果級(jí)數(shù)收斂,且存在自然數(shù)N,使當(dāng)時(shí)有成立,則級(jí)數(shù)收斂;如果級(jí)數(shù)發(fā)散,且當(dāng)時(shí)有成立,則級(jí)數(shù)發(fā)散.分析:因?yàn)榧?jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘
2、不為零的常數(shù)k,以及去掉級(jí)數(shù)前面的有限項(xiàng)不會(huì)影響級(jí)數(shù)的收斂性.例2討論—級(jí)數(shù)的收斂性,其中常數(shù)>0.解設(shè),則但調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,故級(jí)數(shù)(2)發(fā)散.設(shè),當(dāng)時(shí),有所以,考慮級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(3)的部分和=因故級(jí)數(shù)(3)收斂.由推論1知,級(jí)數(shù)(3)當(dāng)>1時(shí)收斂.總之:—級(jí)數(shù)(2)當(dāng)1時(shí)發(fā)散,當(dāng)>1時(shí)收斂.注:比較審斂法的:必須有參考級(jí)數(shù)。常用:幾何級(jí)數(shù),—級(jí)數(shù)(調(diào)級(jí)數(shù))例3判別下列級(jí)數(shù)的斂散性.發(fā)散,原級(jí)數(shù)發(fā)散收斂,原級(jí)數(shù)收斂練習(xí)63.比較審斂法的極限形式定理3設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),(1)如果且級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)收斂;(2)如果或,
3、且級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)發(fā)散例4 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性.(1) 發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散收斂收斂4.比值審斂法定理4設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則當(dāng)級(jí)數(shù)收斂;(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.(證略,可參考教材)例5 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:(1)級(jí)數(shù)收斂(2)級(jí)數(shù)發(fā)散(3)收斂,發(fā)散發(fā)散5.根值審斂法----柯西判別法6定理5設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂,(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.(證略,可參考教材)例6判別下列級(jí)數(shù)的斂散性(1)級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散6根限審斂法(與—級(jí)數(shù)作比較)定理6設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),(1)如
4、果則發(fā)散;(1)如果,而則級(jí)數(shù)收斂。例7 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性(1)發(fā)散.(2)收斂二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù):或其中都是正數(shù).定理7(萊布尼茲定理)如累交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂,且其和,其余項(xiàng)的絕對(duì)值6分析:先證明S2n的極限存在,為此把S2n寫成兩種形式:及根據(jù)條件(1)知所有括弧中的差非負(fù)的.由第一種形式可見(jiàn)單調(diào)增,由第二種形式可見(jiàn),因單調(diào)有界數(shù)列必有極限,當(dāng),趨于一個(gè)極限s,且再證明前項(xiàng)的和s2n+1的極限也是s,事實(shí)上,由條件(2)知因此由于故收斂于和s,且最后,上式右端是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),它滿
5、足收斂的兩個(gè)條件,所以證畢.例8 判別級(jí)數(shù)的斂散性。解,所以它是收斂的,且其和。三、絕對(duì)收斂與條件收斂任意項(xiàng)級(jí)數(shù):它的各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)絕對(duì)值級(jí)數(shù):為正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果收斂,則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;如果級(jí)數(shù)收斂,而發(fā)散,則稱條件收斂。如 絕對(duì)收斂條件收斂定理8如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則級(jí)數(shù)必定收斂.6分析:收斂,令顯然且由比較審斂法知收斂,從而也收斂.而所以收斂。注意上述定理的逆定理并不成立.TH8說(shuō)明,對(duì),若用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法判定收斂。一般地,若發(fā)散不能斷定也發(fā)散,但是若用比值審斂法或根值審斂法判定發(fā)散,則可斷定發(fā)散,因?yàn)閺?/p>
6、這兩個(gè)審斂法的證明知,上述兩種審斂法判定發(fā)散的依據(jù)是不趨于0(故發(fā)散。例9判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:(1)絕對(duì)收斂發(fā)散條件收斂絕對(duì)收斂小結(jié):本節(jié)介紹了常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(五個(gè)定義)的審斂法,要熟練掌握比較審斂法、比值審斂法、萊布尼茲判別法等(八個(gè)定理),會(huì)利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件判別發(fā)散級(jí)數(shù)。6