函數(shù)的最大值和最小值(2)

《函數(shù)的最大值和最小值(2)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。

1、函數(shù)的最大值和最小值例1.設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求函數(shù)的最小值。解：先估計(jì)y的下界。又當(dāng)x=1時(shí)，y=5，所以y的最小值為5。說明本題是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“舉例”說明這個(gè)下界是可以限到的?！芭e例”是必不可少的，否則就不一定對了。例如，本題我們也可以這樣估計(jì)：但y是取不到-7的。即-7不能作為y的最小值。例2.求函數(shù)的最大值和最小值。解去分母、整理得：(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.當(dāng)時(shí)，這是一個(gè)關(guān)于x的二次方程，因?yàn)閤、y均為實(shí)數(shù)，所以D=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y+3)30,y2+3y--4￡0,所以　-4￡y￡1又當(dāng)時(shí)，y=-4;x=-2時(shí)，y=

2、1.所以ymin=-4，ymax=1.說明　本題求是最值的方法叫做判別式法。例3.求函數(shù)，x?[0,1]的最大值解：設(shè)，則x=t2-1y=-2(t2-1)+5t=-2t2+5t+1原函數(shù)當(dāng)t=時(shí)取最大值例4求函數(shù)的最小值和最大值解：令x-1=t()則ymin=例5.已知實(shí)數(shù)x,y滿足1￡x2+y2￡4,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值解：∵∴又當(dāng)時(shí)f(x,y)=6，故f(x,y)max=6又因?yàn)椤嘤之?dāng)時(shí)f(x,y)=，故f(x,y)min=例6.求函數(shù)的最大值和最小值解：原函數(shù)即令(0

3、函數(shù)的最大值解：設(shè)，則f(x)=由于0￡a<1,故f(x)￡，又當(dāng)x=(k為整數(shù))時(shí)f(x)=,故f(x)max=例8.求函數(shù)的最大值解：原函數(shù)即在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P(x,x2),A(3,2),B(0,1)，則f(x)=

4、PA

5、-

6、PB

7、￡

8、AB

9、=又當(dāng)時(shí)，f(x)=故fmax(x)=例9.設(shè)a是實(shí)數(shù),求二次函數(shù)y=x2-4ax+5a2-3a的最小值m，當(dāng)0￡a2-4a-2￡10中變動時(shí)，求m的最大值解：y=x2-4ax+5a2-3a=(x-2a)2+a2-3a由0￡a2-4a-2￡10解得：或￡a￡6故當(dāng)a=6時(shí)，m取最大值18例10.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，并且當(dāng)點(diǎn)(x

10、,y)在y=f(x)的圖象上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)在y=g(x)的圖象上運(yùn)動，求函數(shù)p(x)=g(x)-f(x)的最大值。解因?yàn)辄c(diǎn)(x,y)在y=f(x)的圖象上，所以y=log2(x+1)。點(diǎn)在y=g(x)的圖象上，所以故令，則當(dāng)，即時(shí)，，所以從而。例11.已知函數(shù)的最小值是2，最大值是6，求實(shí)數(shù)a、b的值。解：將原函數(shù)去分母，并整理得(a-y)x2+bx+(6-2y)=0.若y=a，即y是常數(shù)，就不可能有最小值2和最大值6了，所以y1a。于是D=b2-4(a-y)(6-2y)30,所以y2-(a+3)y+3a-￡0.由題設(shè)，y的最小值為2，最大值為6，所以(y-2)(y-6)￡0,即y2-8y+1

11、2￡0.由(1)、(2)得　解得：例12.求函數(shù)的最小值和最大值。解先求定義域。由　最6￡x￡8.當(dāng)x?[6,8]，且x增加時(shí)，增大，而減小，于是f(x)是隨著x的增加而減小，即f(x)在區(qū)間[6，8]上是減函數(shù)。所以fmax(x)=f(8)=0,fmin(x)=f(6)=0例13.設(shè)x,y,z是3個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)，求的最大值分析：欲求的最大值，只須找一個(gè)最小常數(shù)k，使得xy+2yz￡k(x2+y2+z2)∵x2+ay232xy　(1-a)y2+z232yz∴x2+y2+z232xy+2yz令2=,則a=解：∵∴即又當(dāng)x=1,y=，z=2時(shí)，上面不等號成立，從而的最大值為例14.設(shè)函數(shù)f:

12、(0,1)?R定義為求f(x)在區(qū)間上的最大值解：(1)若x?且x是無理數(shù)，則f(x)=x<(2)若x?且x是有理數(shù)，設(shè)，其中(p,q)=1,0