函數(shù)的最大值與最小值(2)

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1、2007鄭州一中《導(dǎo)數(shù)》教案§3．8函數(shù)的最大值與最小值（2）【課　　題】函數(shù)的最大值與最小值（2）【教學(xué)目標(biāo)】1．進(jìn)一步熟練函數(shù)的最大值與最小值的求法；2．初步會(huì)解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題．【教學(xué)重點(diǎn)】解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題．【教學(xué)難點(diǎn)】解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題．【教學(xué)過(guò)程】一、復(fù)習(xí)引入：1．極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點(diǎn)．2．極小值

2、：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＞f(x0)．就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點(diǎn)．3．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值．4．判別f(x0)是極大、極小值的方法：若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值．5．求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（2）求方程f′(x)=0的根

3、；（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格．檢查f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值．6．函數(shù)的最大值和最小值:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值．（1）在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．（2）第15課時(shí)課題：3．8函數(shù)的最大值與最小值（2）第5頁(yè)（共5頁(yè)）2007鄭州一中《導(dǎo)數(shù)》教案函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義

4、域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的．（3）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒有一個(gè)．7．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：⑴求在內(nèi)的極值；⑵將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值．二、講解范例：例1在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？解法一：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為xcm

5、，則箱高cm，得箱子容積．令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000由題意可知，當(dāng)x過(guò)?。ń咏?）或過(guò)大（接近60）時(shí)，箱子容積很小，因此，16000是最大值．答：當(dāng)x=40cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16000cm3解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長(zhǎng)為(60-2x)cm，則得箱子容積．（后面同解法一，略）由題意可知，當(dāng)x過(guò)小或過(guò)大時(shí)箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處．事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù)、第15課時(shí)課題：3．8函數(shù)的最大值與最小值（2）第5頁(yè)（共5頁(yè)）2007鄭州一中《導(dǎo)數(shù)》教案在各自的定

6、義域中都只有一個(gè)極值點(diǎn)，從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰，是單峰的，因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值．例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省？解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，則S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令+4πR=0解得，R=，從而h====2即h=2R因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值．答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省．變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選

7、取，才能使所用材料最??？提示：S=2+h=V(R)=R=)=0．例3已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為．求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤(rùn)L最大？分析：利潤(rùn)L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格．由此可得出利潤(rùn)L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)．解：收入，第15課時(shí)課題：3．8函數(shù)的最大值與最小值（2）第5頁(yè)（共5頁(yè)）2007鄭州一中《導(dǎo)數(shù)》教案利潤(rùn)，令，即，求得唯一的極值點(diǎn)．答：產(chǎn)量為84時(shí)，利潤(rùn)L最大．三、課堂練習(xí)：1．函數(shù)y=2x3－3x2－12x+5在

8、［0，3］上的最小值是___________．2．函數(shù)f(x)=sin2x－x在［－,］上的最大值為_____；最小值為_______．3．將正數(shù)a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應(yīng)分成______和___．4．使內(nèi)接橢圓=1的矩形面積最大，矩形的長(zhǎng)為_____，寬為_____．5．在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽開__時(shí)