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《信號(hào)的功率譜密度》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)陳明東南大學(xué)移動(dòng)通信國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室chenming@seu.edu.cn-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)隨機(jī)過程和隨機(jī)信號(hào)的概念隨機(jī)過程隨機(jī)信號(hào)當(dāng)用隨機(jī)過程來表示一組信號(hào)時(shí)，此時(shí)的隨機(jī)過程就被稱為隨機(jī)信號(hào)。-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)4.1隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)確定性信號(hào)的頻譜信號(hào)的頻譜特性是描述信號(hào)的一個(gè)重要指標(biāo)。對(duì)于確定性信號(hào)，其Fourier變換可以反映其頻譜特性。-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)Fourier分解
2、的物理意義分解各種頻率成份的振動(dòng)-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)頻譜與光譜進(jìn)行對(duì)比-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)如何反應(yīng)隨機(jī)信號(hào)的頻譜？由于隨機(jī)信號(hào)實(shí)際上是一族確定性信號(hào)，要從統(tǒng)計(jì)意義上反映其頻譜特性，需要用功率譜密度的概念。-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)4.1.1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度若是一個(gè)定義于上的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程，則上的平均功率為-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)利用Fourier變換的Parseval等式，可以得到在上的平均功率為從上式可以看出，下式所定義的關(guān)于頻率的函數(shù)-108-第
3、4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)反映了隨機(jī)信號(hào)功率在單位頻率上的分布情況，因此定義函數(shù)為連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度。-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)功率譜密度的性質(zhì)性質(zhì)4.1設(shè)是定義于上的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程，是其功率譜密度，則有如下性質(zhì)：①功率譜密度在上的積分為信號(hào)總功率，也即。②,也即是一個(gè)非負(fù)實(shí)函數(shù)。-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)①實(shí)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度是偶函數(shù)圖4.1實(shí)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度是非負(fù)偶函數(shù)-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)對(duì)于寬平穩(wěn)過程來說，有下列Wiener-Khinchin定理定理4.1(W
4、iener-Khinchin定理)若為上的寬平穩(wěn)過程，且其自相關(guān)函數(shù)滿足，則有-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)證明由功率譜密度的定義式知-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)如圖4.2所示，對(duì)積分區(qū)域作變換-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)，則-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)于是定理得證。-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)對(duì)于寬平穩(wěn)過程，其功率譜密度是其自相關(guān)函數(shù)的Fourier變換，因此由Fourier逆變換公式有-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)所以，對(duì)于寬平穩(wěn)過程來講，其自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度是互相唯一
5、確定的關(guān)系，一個(gè)是隨機(jī)過程時(shí)域特性的反映，一個(gè)是隨機(jī)過程頻域特性的反映。此外由式(4.3)知，對(duì)于寬平穩(wěn)隨機(jī)過程來說，平均功率為若為實(shí)隨機(jī)過程，則其自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即，則-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)例4.1試求Poisson隨機(jī)電報(bào)過程的功率譜密度。解由習(xí)題2B-73可知，Poisson隨機(jī)電報(bào)過程為寬平穩(wěn)過程，其自相關(guān)函數(shù)為，其中是信號(hào)平均傳輸速率。由Wiener-Khinchin定理知其功率譜密度為-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)例4.2設(shè)是定義在上的實(shí)隨機(jī)過程，其功率譜密度為。則的解析過程的
6、功率譜密度為其中為Heavyside函數(shù)。-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)解由習(xí)題3B-39和例3.29知，的自相關(guān)函數(shù)為對(duì)其作Fourier變換，由知-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)所以，解析過程沒有負(fù)功率譜密度。例4.3試求隨機(jī)相位余弦信號(hào)的功率譜密度，其中是上的均勻分布。-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)解由例2.72知，為平穩(wěn)過程，且其自相關(guān)函數(shù)為則其功率譜密度為-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)其中，用到了常數(shù)的Fourier變換是函數(shù)的性質(zhì)。由此可見，隨機(jī)相位余弦信號(hào)的功率集中于頻點(diǎn)。-108
7、-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)例4.4(白噪聲過程)如圖4.3所示，若寬平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度在任意頻點(diǎn)上是常數(shù)，即，則稱為白噪聲過程,由Wiener-Khinchin定理知其自相關(guān)函數(shù)為若寬平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度為-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)其中為某個(gè)正常數(shù)，則稱為帶限白噪聲過程。該過程的平均功率為自相關(guān)函數(shù)為-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)由上式可見，當(dāng)時(shí)，和互相正交。圖4.3白噪聲和帶限白噪聲的功率譜密度-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)互功率譜若和是兩個(gè)隨機(jī)過程，和隨機(jī)信號(hào)功率譜密度的定義類似
8、，可以定義和的互功率譜密度為和Wiener-Khinchin定理的證明類似，若-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)和為兩個(gè)聯(lián)合寬平穩(wěn)的隨機(jī)過程，且，則有式中，為和的互相關(guān)函數(shù)。-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)此外，還可以證明互功率譜密度具有以下性質(zhì)。性質(zhì)4.2①-108-第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)②。證明作為練習(xí)。例4.5設(shè)和是兩個(gè)聯(lián)合寬平穩(wěn)過程，試給出的功率譜密度。解的自相關(guān)函數(shù)為-108-第4章隨
