隨機(jī)信號的功率譜密度

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1、第四章隨機(jī)信號的功率譜密度對隨機(jī)過程的頻域分析只能研究其功率譜密度,并在此意義下討論其頻率結(jié)構(gòu)、帶寬以及與系統(tǒng)的相互作用等問題。4.1功率譜密度若一個確定信號，滿足狄氏條件，且絕對可積，即滿足：則s(t)的傅立葉變換存在，為：S(?)與s(t)滿足Parseval定理：一個隨機(jī)過程的樣本函數(shù)，盡管它的總能量是無限的，但其平均功率卻是有限值，即：圖：f(t)及其截斷函數(shù)fT(t)的傅立葉變換存在：W?是樣本函數(shù)的平均功率將上式代入信號平均功率表達(dá)式中得:所謂信號的功率譜密度函數(shù)是指這樣的函數(shù):1、當(dāng)在整個頻率范圍內(nèi)對它進(jìn)行積分以后，得到信號的總功率；2、描述了信號功率在各個不同頻率上分布的情況

2、；正具有了上述特性。它代表了隨機(jī)過程的某一個樣本函數(shù)f(t,?)在單位頻帶內(nèi)、消耗1?電阻上的平均功率。稱它為樣本函數(shù)的功率譜密度函數(shù)。記為Gf(?,?)。對所有的?（實驗結(jié)果）取統(tǒng)計平均得：或功率譜密度Gf(?)是從頻率角度描述f(t)統(tǒng)計規(guī)律的最主要的數(shù)字特征。Gf(?)僅表示了f(t)的平均功率按頻率分布的情況，沒有包含過程f(t)的任何相位信息。若f(t)為各態(tài)歷經(jīng)過程,則有:4.2功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系由得:設(shè)X(t)為平穩(wěn)過程,則時間平均自相關(guān)函數(shù)等于集合平均自相關(guān)函數(shù),即:上式稱為維納—辛欽定理。說明：1、以上討論的功率譜密度都屬于連續(xù)情況，即相應(yīng)的隨機(jī)過程不能含有直

3、流成分或周期成分。2、功率譜密度指單位帶寬上的平均功率；3、任何直流分量和周期分量在頻域上都表現(xiàn)為頻率軸上某點(diǎn)的零帶寬內(nèi)的有限功率，都會在頻域的相應(yīng)位置上產(chǎn)生離散頻譜；而在零帶寬上的有限功率等效于無限的功率譜密度。4、借助?函數(shù)，維納—辛欽定理可推廣至含有直流或周期性成分的平穩(wěn)過程中。4.3功率譜密度的性質(zhì)性質(zhì)一：非負(fù)性,GX(?)?0;性質(zhì)二：GX(?)是實函數(shù)；性質(zhì)三：GX(?)是偶函數(shù)；性質(zhì)四：性質(zhì)五：有理譜密度是實際應(yīng)用中最常見的一類功率譜密度；4.4互譜密度及其性質(zhì)兩個隨機(jī)過程之和構(gòu)成新的隨機(jī)過程，即：Z(t)=X(t)+Y(t)的自相關(guān)函數(shù)：若兩個隨機(jī)過程X(t)、Y(t)單獨(dú)平

4、穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則：Z(t)的譜密度GZ(?):其中：稱為互功率譜密度。一、互譜密度：設(shè)兩個聯(lián)合平穩(wěn)的隨機(jī)過程X(t)和Y(t)，若x(t,?)和y(t,?)分別為X(t)和Y(t)的某一個樣本函數(shù)，相應(yīng)的截短函數(shù)分別為xT(t,?)和yT(t,?)，傅立葉變換分別為：，則互功率譜：二、互譜密度的性質(zhì)性質(zhì)一：性質(zhì)二：和是?的偶函數(shù)；和是?的奇函數(shù)；性質(zhì)三：若平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)相互正交，則有：性質(zhì)四：若X(t)和Y(t)是兩個不相關(guān)的平穩(wěn)過程，分別有均值mX和mY，則：性質(zhì)五：若X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，RXY(?)絕對可積，則互譜密度GXY(?)、GYX(?)分別和互相關(guān)函數(shù)RXY(

5、?)、RYX(?)構(gòu)成傅立葉變換對。三、相干函數(shù)4.5白噪聲與白序列一白噪聲的定義及特性：一個均值為零，功率譜密度在整個頻率軸上有非零常數(shù)，即：的平穩(wěn)過程N(yùn)(t)，被稱為白噪聲過程或簡稱白噪聲。式中，N0是正實常數(shù)。白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：白噪聲的相關(guān)系數(shù)為:二、熱噪聲熱噪聲指的是電路中由于各電阻內(nèi)電子熱騷動（布朗運(yùn)動）而產(chǎn)生的隨機(jī)起伏電壓和電流。其功率譜密度為：三、噪聲系數(shù)和溫度噪聲系數(shù)（指數(shù)）定義為系統(tǒng)輸入端信噪比與輸出端信噪比之比。即：四、白序列（RND偽隨機(jī)序列）設(shè)隨機(jī)序列Zn的自相關(guān)函數(shù)滿足：或?qū)τ诎仔蛄衅涔β首V：五、限帶白噪聲若噪聲在一個有限頻帶上有非零的常數(shù)功率譜，而在頻帶之外為零

6、，則被稱做限帶白噪聲。自相關(guān)函數(shù)：4.6功率譜估值的經(jīng)典法譜估值的基本問題是已知隨機(jī)過程X(t)或Xj某個實現(xiàn)：中的有限長序列段，或者說N個數(shù)，如何由它盡可能準(zhǔn)確地得到X(t)或Xj的功率譜密度GX(?)。譜估值的主要目的：揭示其周期性。一、兩種經(jīng)典譜估值的方法1、周期圖法本質(zhì)是從各態(tài)歷經(jīng)過程功率譜定義式得到的估計量，對于有限N，有：式中，XN(?)是的N點(diǎn)DFT。2、Blackman-Tukey(BT法)由維納—辛欽定理的離散形式：對有限個數(shù)據(jù)，譜估值為：二、經(jīng)典譜估值的改進(jìn)1、平均法：2、平滑法：將全部數(shù)據(jù)用來計算出一個周期圖，然后在頻域?qū)⑵淦交?，即：三、譜估值的一些實際問題1、數(shù)據(jù)采樣

7、率：隨機(jī)信號采樣定理：設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)信號X(t)的功率譜的最高頻率為fc，則取采樣間隔：采樣值為Xn，則有采樣展開式：且在均方意義下逼近于X(t)，即：2、每段數(shù)據(jù)的長度L應(yīng)滿足頻率分辨力的要求。3、數(shù)據(jù)總長度數(shù)據(jù)總長度N=分段數(shù)K*每段點(diǎn)數(shù)L；4、數(shù)據(jù)預(yù)處理4.7復(fù)隨機(jī)過程的功率譜密度若過程Z(t)是平穩(wěn)的，則復(fù)過程Z(t)的功率譜密度：由傅立葉反變換可得：若復(fù)過程Zi(t)和Zk(t)聯(lián)合平穩(wěn)，則復(fù)過程Zi(