梁的位移及簡單超靜定梁

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1、第六章梁的位移及簡單超靜定梁內(nèi)容提要一、平面彎曲時梁的變形與位移Ⅰ、梁的變形1.撓曲線平面彎曲時，梁的軸線彎曲成位于形心主慣性平面內(nèi)的一條光滑連續(xù)的平面曲線，稱為撓曲線，如圖6-1中的。2.彎曲變形以撓曲線(中性層)的曲率表示梁彎曲變形程度，曲率與彎矩間的關(guān)系為(6—1)式中，為彎矩，為梁的彎曲剛度，(6-1)式右端的負(fù)號，是因為在圖(6-1)所示坐標(biāo)系中，y向下為正，撓曲向上凸時曲率正，于是正彎矩產(chǎn)生負(fù)曲率，負(fù)彎矩產(chǎn)生正曲率。(6-1)是在小變形，線彈性的條件下導(dǎo)出的，純彎曲時，彎矩為常量，曲率為常量，撓曲線為一段圓弧線。橫力彎曲時，不計剪力對變形的影響，曲率

2、和彎矩均為x的函數(shù)，曲率與彎矩成正比。Ⅱ、梁的位移1.撓度橫截面在垂直于原軸線方向的位移，稱為撓度，用w表示。表示撓度隨橫截面位置x變化規(guī)律的方程為撓度(或撓曲線)方程在圖6-1所示坐標(biāo)系中，w向下為正，向上為負(fù)。2.　轉(zhuǎn)角　　橫截面相對于其原方位的角位移，稱為轉(zhuǎn)角，用表示。在一般細長梁中，不計剪力對變形的影響，變形后的橫截面仍保持為平面，且垂直于梁的撓曲線，于是轉(zhuǎn)角也為x軸與撓曲線在該點的切線之間的夾角。(圖6-1)，在圖6-1所坐標(biāo)系中，以順時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負(fù)。在小變形的情況下，轉(zhuǎn)角等于撓曲線在該點處的斜率，即Ⅲ、變形與位移變形與位移是兩個不同的概念，但

3、它們又互相聯(lián)系。梁的變形(曲率)僅取決于彎矩和梁的彎曲剛度的大小，位移不僅取決于彎矩和梁的彎曲剛度，還與梁的約束條件有關(guān)。二、撓曲線的近似微分方程及其積分Ⅰ、撓曲線的近似微分方程平面曲線在直角坐標(biāo)系中曲率公式為在小變形時，，于是第26頁共26頁將此式代入(6-1)式，得到線彈性范圍內(nèi)，小變形情況撓曲線的近似微分方程為(6—2)Ⅱ、通過積分求梁的位移等直梁彎矩不需分段列出時，將(6-2)式積分一次得再積分一次得式中，和為積分常數(shù)，由梁的位移邊界條件確定。當(dāng)梁上的彎矩需要分段列出時，撓曲線的近似微分方程也應(yīng)分段建立，分別積分兩次后，每一段有兩個積分常數(shù)，確定積分常數(shù)

4、除了應(yīng)用位移邊界條件外，還需應(yīng)用位移連續(xù)條件。為了簡化計算，在運算中需要采取一些技巧(見教材例7-2)。三、用疊加法計算梁的位移Ⅰ、疊加原理在線彈性范圍內(nèi)，小變形情況下，梁在若干個荷載共同作用下任一橫截面的位移，等于梁在各個荷載單獨作用下的位移之和。Ⅱ、要求利用梁在簡單荷載作用下的位移值(見教材表7-1)，確定梁在若干個荷載共同作用下的位移值。疊加法計算梁的位移是本章的重點和難點，要求熟記表7-1的結(jié)果，并通過作練習(xí)題，掌握利用疊加法計算梁位移的技巧。四、梁的剛度條件提高梁剛度的措施Ⅰ、剛度條件梁的剛度條件為梁的最大撓度與跨長的比值不得超過規(guī)定的許可值，梁指定截

5、面的轉(zhuǎn)角不得超過規(guī)定的許可值，即，(6—3)Ⅱ、提高梁剛度的措施1.增大梁的彎曲剛度EI。選擇適當(dāng)?shù)慕孛嫘螤睿黾咏孛鎸χ行暂S的慣性矩。2.減小梁的跨度或增加支承。五、彎曲應(yīng)變能等直梁平面彎曲時，在彈性變形過程中梁內(nèi)所積蓄的能量，稱為彎曲應(yīng)變能，純彎曲和橫力彎曲時的應(yīng)變能分別為，(6—4)本章只需掌握彎曲應(yīng)變能的概念，其應(yīng)用將放在能量方法一章中。第26頁共26頁六、超靜定梁Ⅰ、超靜定的概念梁的約束反力數(shù)目超過了平衡方程式的數(shù)目，這種梁稱為超靜定梁。多于維持平衡所必要的約束，稱為多余約束，相應(yīng)的約束反力為多余未知力，多余約束數(shù)目或多余未知力數(shù)目為超靜定次數(shù)。Ⅱ、超

6、靜定梁的解法解除多余約束使梁成為靜定梁，此梁稱為原超靜定梁的基本系統(tǒng)(或稱為靜定基)?；鞠到y(tǒng)在荷載及多余未知力作用下，滿足多余約束所提供的位移條件。這樣的靜定梁稱為原超靜梁的相當(dāng)系統(tǒng)，求出多余未知力后，利用相當(dāng)系統(tǒng)來完成對原超靜定梁的一切計算。例6-1用積分法計算圖示各梁的位移時，各需分幾段列撓曲線的近似微分方程？各有幾個積分常數(shù)？并寫出其確定積分常數(shù)的位移邊界和連續(xù)條件。解：圖a分AC、CB兩段列撓曲線的近似微分方程，共有四個積分常數(shù)。位移邊界條件為，，位移連續(xù)條件為時，，圖b分AB、BC兩段列撓曲線的近似微分方程，共有四個積分常數(shù)。位移邊界條件為，，位移連

7、續(xù)條件為時，，圖c只需列AB段撓曲線的近似微分方程，共有兩個積分常數(shù)。位移邊界條件為，，第26頁共26頁圖d分AB、BC兩段列撓曲線的近似微分方程，共有四個積分常數(shù)。位移邊界條件為時，，位移連續(xù)條件為時，，圖e分AB、BC和CD三段列撓曲線的近似微分方程，共有六個積分常數(shù)。位移邊界條件為時，，，位移連續(xù)條件為，時，，中間鉸B處，撓曲線連續(xù)但不光滑，即中間鉸兩側(cè)面的撓度相同，但轉(zhuǎn)角不等。例6-2試?yán)L出圖示各梁撓曲線的大致形狀。解：繪制撓曲線大致形狀的步驟為：首先繪制彎矩圖，彎矩為正的區(qū)段，撓曲線為下凸曲線；彎矩為負(fù)的區(qū)段撓曲為上凸曲線，彎矩等于零的區(qū)段，撓曲線為直

8、線段。彎矩等于零的點處，