復(fù)合梯形公式與復(fù)合辛普森公式對(duì)比

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1、SHANGHAIJIAOTONGUNIVERSITY題目名稱(chēng)：復(fù)合梯形公式與復(fù)合辛普森公式對(duì)比學(xué)生姓名:學(xué)生學(xué)號(hào):班級(jí):學(xué)院(系):11目錄1.概述32.問(wèn)題提出43.算法推導(dǎo)54.算法框圖64.1復(fù)合梯形公式算法流程圖64.2復(fù)合辛普森公式算法流程圖75.MATLAB源程序86.結(jié)論與展望9圖表目錄圖41復(fù)合梯形公式算法流程圖6圖42復(fù)合辛普森公式算法流程圖7圖61MATLAB計(jì)算結(jié)果9表21函數(shù)計(jì)算結(jié)果表4111.概述梯形求積公式和辛普森求積公式分別是牛頓-科斯特公式中n=1和n=2時(shí)的情形。其中梯形求積公式可表示為其公式左端是以[a,b]區(qū)間

2、上積分，右端為b-a為高、端點(diǎn)函數(shù)值為上下底的梯形的面積值，故通稱(chēng)為梯形公式，具有1次代數(shù)精確度。類(lèi)似的，辛普森求積公式可以表示為該公式一般在立體幾何中用來(lái)求擬柱體的體積，由于偶數(shù)n階牛頓-科特斯求積公式至少具有n+1次代數(shù)精確度，所以辛普森公式實(shí)際上具有3次代數(shù)精確度。由于牛頓-科斯特公式在n≥8時(shí)不具有穩(wěn)定性，故不可能通過(guò)提高階的方法來(lái)提高求積精度。為了提高精度通常可把積分區(qū)間分成若干子區(qū)間（通常是等分），再在每個(gè)子區(qū)間上用低階求積公式。這種方法稱(chēng)為復(fù)合求積法。本文主要討論復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式在同一數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。首先給出了復(fù)合梯形公式和復(fù)合

3、辛普森公式的推導(dǎo)過(guò)程以及其余項(xiàng)的表達(dá)形式，然后用流程圖的形式介紹算法思路，再運(yùn)用MATLAB編寫(xiě)代碼計(jì)算結(jié)果，最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比討論。希望通過(guò)兩個(gè)算法在同一個(gè)算例中的應(yīng)用對(duì)比，更好的理解和掌握復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式的適用范圍和適用條件。并且能夠熟悉MATLAB編程求解問(wèn)題的流程，掌握編程化的思想方法。同時(shí)對(duì)兩種方法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析，討論兩種求積方法的計(jì)算精度。111.問(wèn)題提出對(duì)于函數(shù)fx=sinxx給出的函數(shù)表如下，試用復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式計(jì)算積分I=01sinxxdx。表21函數(shù)計(jì)算結(jié)果表xf(x)011/80.997397867081

4、8221/40.9896158370180923/80.9896158370180921/20.9588510772084065/80.9361556367047403/40.9088516800311127/80.87719257398403110.841470984807897111.算法推導(dǎo)3.1復(fù)合梯形公式根據(jù)梯形公式，將區(qū)間[a,b]劃分為n等份，分點(diǎn)xk=a+kh,h=b-an,k=0,1,…,n，在每個(gè)子區(qū)間[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，則得：記則Tn為復(fù)合梯形公式。另外，復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)可表示為3.2復(fù)合辛普

5、森公式根據(jù)辛普森公式將區(qū)間[a,b]劃分為n等份，在每個(gè)子區(qū)間[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上采用辛普森公式。若記xk+1/2=xk+12h則得11記該公式即為復(fù)合辛普森公式。復(fù)合辛普森公式的余項(xiàng)可表示為1.算法框圖開(kāi)始4.1復(fù)合梯形公式算法流程圖輸入?yún)^(qū)間斷點(diǎn)a,b及等分?jǐn)?shù)n求出步長(zhǎng)h，各節(jié)點(diǎn)xk及相應(yīng)的函數(shù)值f(xk),k=1,2,..n-1各節(jié)點(diǎn)函數(shù)值f(xk)求和sum,k=1,2,..n-1Tn=h2(fa+fb+sum)輸出積分值Tn結(jié)束圖41復(fù)合梯形公式算法流程圖114.2復(fù)合辛普森公式算法流程圖開(kāi)始輸入?yún)^(qū)間斷點(diǎn)a,b及等分?jǐn)?shù)n

6、求出步長(zhǎng)h，各節(jié)點(diǎn)xk，相鄰節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)xk+1/2及相應(yīng)的函數(shù)值f(xk),f(xk+1/2)k=1,2,..n-1各節(jié)點(diǎn)函數(shù)值f(xk)求和sum1,各相鄰節(jié)點(diǎn)中心點(diǎn)函數(shù)值f(xk+1/2)求和sum2k=1,2,..n-1Sn=h6(fa+fb+2sum1+4sum2)輸出積分值Sn結(jié)束圖42復(fù)合辛普森公式算法流程圖111.MATLAB源程序%復(fù)合梯形公式及復(fù)合辛普森積分公式clearall;formatlong;a=0;b=1;n=8;h=(b-a)/n;%步長(zhǎng)fori=1:n+1x(i)=a+(i-1)*h;ifisnan(sin(x(i))/x(

7、i))symst;tmp=limit(sin(t)./t,t,x(i));%當(dāng)被積函數(shù)在某點(diǎn)值不存在時(shí)，求其極限y(i)=eval(tmp);elsey(i)=sin(x(i))/x(i);%被積函數(shù)求節(jié)點(diǎn)的值endend%復(fù)合梯形公式及復(fù)合辛普森積分公式s1=0;fork=2:ns1=s1+y(k);endT8=h/2*(y(1)+2*s1++y(n+1))%復(fù)合辛普森積分公式s2=0;s3=0;fork=2:2:ns2=s2+y(k);endfork=3:2:n-1s3=s3+y(k);endh1=2*h;%注：此時(shí)步長(zhǎng)是原來(lái)的2倍S4=h1/6*(y

8、(1)+4*s2+2*s3+y(n+1))fprintf('梯形積