求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

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1、專(zhuān)業(yè)資料．圓你夢(mèng)想求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法紹興一中求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，高考也往往通過(guò)考查遞推數(shù)列來(lái)考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索能力，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式一般是將遞推公式變形，推得原數(shù)列是一種特殊的數(shù)列或原數(shù)列的項(xiàng)的某種組合是一種特殊數(shù)列，把一些較難處理的數(shù)列問(wèn)題化為中學(xué)中所研究的等差或等比數(shù)列，下面就求遞推數(shù)列通向公式的常用方法舉例一二，供參考：一公式法：利用熟知的的公式求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為公式法，常用的公式有，等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。例一已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且，求

2、的通項(xiàng)公式？【解析】：，，，又，.反思：利用相關(guān)數(shù)列與的關(guān)系：,與提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿(mǎn)足關(guān)系.試證數(shù)列是等比數(shù)列.二歸納法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.例二已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】：，，，猜測(cè)，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（略）反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項(xiàng)公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.跟蹤訓(xùn)練2.設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，并且對(duì)于所有自然

3、數(shù)，與1的等差中項(xiàng)等于與1的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.三累加法：利用求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（可求前項(xiàng)和）.例三已知無(wú)窮數(shù)列的的通項(xiàng)公式是，若數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】：,,=1+++專(zhuān)業(yè)資料．圓你夢(mèng)想=.反思:用累加法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.跟蹤訓(xùn)練3.已知,,求數(shù)列通項(xiàng)公式.四累乘法:利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為累乘法,累乘法是求型如:的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(數(shù)列可求前項(xiàng)積).例四已知,,求數(shù)列通項(xiàng)公式.【解析】：,,又有=

4、1×=,當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，.反思:用累乘法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.跟蹤訓(xùn)練4.已知數(shù)列滿(mǎn)足,.則的通項(xiàng)公式是.五構(gòu)造新數(shù)列:將遞推公式（為常數(shù)，，）通過(guò)與原遞推公式恒等變成的方法叫構(gòu)造新數(shù)列.例五已知數(shù)列中,,,求的通項(xiàng)公式.【解析】:利用,求得,是首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列,即,反思:.構(gòu)造新數(shù)列的實(shí)質(zhì)是通過(guò)來(lái)構(gòu)造一個(gè)我們所熟知的等差或等比數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練5.已知數(shù)列中,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.六倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列,取倒數(shù)變成的形式的方法叫倒數(shù)變換.例六已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】:將取倒

5、數(shù)得:,,是以專(zhuān)業(yè)資料．圓你夢(mèng)想為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列.,.反思:倒數(shù)變換有兩個(gè)要點(diǎn)需要注意:一是取倒數(shù).二是一定要注意新數(shù)列的首項(xiàng),公差或公比變化了.跟蹤訓(xùn)練6.已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.小結(jié):求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法很多,以上只是提供了幾種常見(jiàn)的方法,如果我們想在求遞推數(shù)列中游刃有余,需要在平時(shí)的練習(xí)中多觀察,多思考,還要不斷的總結(jié)經(jīng)驗(yàn)甚至教訓(xùn).參考答案:1.證明：由已知可得：，當(dāng)時(shí)，時(shí)，滿(mǎn)足上式.的通項(xiàng)公式,時(shí)為常數(shù),所以為等比數(shù)列.2.解:由已知可求,,,猜測(cè).(用數(shù)學(xué)歸納法證明).3

6、.由已知,=.4.時(shí),,作差得:,,,,,,,,.5.6.數(shù)列一、求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式基礎(chǔ)類(lèi)型類(lèi)型1解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。專(zhuān)業(yè)資料．圓你夢(mèng)想例1:已知數(shù)列滿(mǎn)足，，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，類(lèi)型2解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知數(shù)列滿(mǎn)足，，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，例3:已知，，求。解：。變式:（2004，全國(guó)I,理15．）已知數(shù)列{an}，滿(mǎn)足a1=1，(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)

7、解：由已知，得，用此式減去已知式，得當(dāng)時(shí)，，即，又，專(zhuān)業(yè)資料．圓你夢(mèng)想，將以上n個(gè)式子相乘，得類(lèi)型3（其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例4:已知數(shù)列中，，，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.變式:（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_______________（key:）類(lèi)型4（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）。解法：一般地

8、，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例5:已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以類(lèi)型5遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解(特征根法)：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列專(zhuān)業(yè)資料．圓你夢(mèng)想的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，