求遞推數(shù)列通項公式的常用方法

《求遞推數(shù)列通項公式的常用方法》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、求遞推數(shù)列通項公式的常用方法山東榮成三中楊鳴岐求遞推數(shù)列通項公式是數(shù)列知識的一個重點，也是一個難點，高考也往往通過考查遞推數(shù)列來考查學(xué)生對知識的探索能力，求遞推數(shù)列的通項公式一般是將遞推公式變形，推得原數(shù)列是一種特殊的數(shù)列或原數(shù)列的項的某種組合是一種特殊數(shù)列，把一些較難處理的數(shù)列問題化為中學(xué)中所研究的等差或等比數(shù)列，下面就求遞推數(shù)列通向公式的常用方法舉例一二，供參考：一公式法：利用熟知的的公式求通項公式的方法稱為公式法，常用的公式有，等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式。例一已知無窮數(shù)列的前項和為，并且，求的通項公式？【

2、解析】：，，，又，.反思：利用相關(guān)數(shù)列與的關(guān)系：,與提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1.已知數(shù)列的前項和，滿足關(guān)系.試證數(shù)列是等比數(shù)列.二歸納法：由數(shù)列前幾項用不完全歸納猜測出數(shù)列的通項公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.例二已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式.【解析】：，，，猜測，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（略）反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.跟蹤訓(xùn)練2.設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項和為，并且對于所有自然數(shù)，與1的等差中項等

3、于與1的等比中項，求數(shù)列的通項公式.三累加法：利用求通項公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項公式的基本方法（可求前項和）.例三已知無窮數(shù)列的的通項公式是，若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式.【解析】：,,=1+++=.反思:用累加法求通項公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.跟蹤訓(xùn)練3.已知,,求數(shù)列通項公式.四累乘法:利用恒等式求通項公式的方法稱為累乘法,累乘法是求型如:的遞推數(shù)列通項公式的基本方法(數(shù)列可求前項積).例四已知,,求數(shù)列通項公式.【解析】：,,又有=1×=,當(dāng)時，滿足，.反思:用累乘法求通項公

4、式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.跟蹤訓(xùn)練4.已知數(shù)列滿足,.則的通項公式是.五構(gòu)造新數(shù)列:將遞推公式（為常數(shù)，，）通過與原遞推公式恒等變成的方法叫構(gòu)造新數(shù)列.例五已知數(shù)列中,,,求的通項公式.【解析】:利用,求得,是首項為,公比為2的等比數(shù)列,即,反思:.構(gòu)造新數(shù)列的實質(zhì)是通過來構(gòu)造一個我們所熟知的等差或等比數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練5.已知數(shù)列中,,求數(shù)列的通項公式.六倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列,取倒數(shù)變成的形式的方法叫倒數(shù)變換.例六已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的通項公式.【解析】:將取倒數(shù)得:,,是以為首項,公差為2的等差數(shù)列.,.反思

5、:倒數(shù)變換有兩個要點需要注意:一是取倒數(shù).二是一定要注意新數(shù)列的首項,公差或公比變化了.跟蹤訓(xùn)練6.已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的通項公式.小結(jié):求遞推數(shù)列的通項公式的方法很多,以上只是提供了幾種常見的方法,如果我們想在求遞推數(shù)列中游刃有余,需要在平時的練習(xí)中多觀察,多思考,還要不斷的總結(jié)經(jīng)驗甚至教訓(xùn).參考答案:1.證明：由已知可得：，當(dāng)時，時，滿足上式.的通項公式,時為常數(shù),所以為等比數(shù)列.2.解:由已知可求,,,猜測.(用數(shù)學(xué)歸納法證明).3.由已知,=.4.時,,作差得:,,,,,,,,.5.6.