《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第二章隨機(jī)變量及其分布

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1、第二章隨機(jī)變量及其分布-1-第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)-2-一隨機(jī)變量概念-2-二隨機(jī)變量的分布函數(shù)-3-基礎(chǔ)訓(xùn)練2.1-7-第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其概率分布-7-一離散型隨機(jī)變量及其概率分布-7-二常見的幾種離散型隨機(jī)變量及其分布-11-基礎(chǔ)訓(xùn)練2.2-17-第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布-17-一連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布的概念與性質(zhì)-18-二常見的幾種連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布-21-基礎(chǔ)訓(xùn)練2.3-28-第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布-28-一離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布-29-二連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布-30-基礎(chǔ)訓(xùn)練2.4-35-綜合訓(xùn)練二-35-內(nèi)容

2、小結(jié)及題型分析二-35-拓展提高二-35-閱讀材料二-35-數(shù)學(xué)實驗二-35-第二章隨機(jī)變量及其分布【本章導(dǎo)讀】本章主要講述隨機(jī)變量與分布函數(shù)，一維離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，常見分布及函數(shù)的分布.【本章用到的先修知識】級數(shù)的運(yùn)算，變限積分，分段函數(shù)的積分，無窮積分.【本章要點】隨機(jī)變量的概念，分布函數(shù)，分布律，概率密度，常見隨機(jī)變量的分布，函數(shù)的分布.在上一章中，我們用樣本空間的子集，即基本事件的集合來表示隨機(jī)試驗的各種結(jié)果.這種表示的方式對全面討論隨機(jī)試驗的統(tǒng)計規(guī)律性及數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用都有較大的局限.在本章中，我們將介紹概率論中另一

3、個重要的概念：隨機(jī)變量.隨機(jī)變量的引入，使概率論的研究由個別隨機(jī)事件擴(kuò)大為隨機(jī)變量所表征的隨機(jī)現(xiàn)象的研究.這樣，不僅可更全面揭示隨機(jī)試驗的客觀存在的統(tǒng)計規(guī)律性，而且可使我們用高等數(shù)學(xué)的方法來討論隨機(jī)試驗.-34-第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一隨機(jī)變量概念在第一章里，我們主要研究了隨機(jī)事件及其概率，讀者可能會注意到在隨機(jī)現(xiàn)象中，有很大一部分問題與實數(shù)之間存在著某種客觀的聯(lián)系.例如，在產(chǎn)品檢驗問題中，我們關(guān)心的是抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車間供電問題中，我們關(guān)心的是某時間段正在工作的車床數(shù)；在電話問題中關(guān)心的是某一段時間內(nèi)的話務(wù)量等.對于這類隨機(jī)現(xiàn)象，其試驗

4、結(jié)果顯然可以用數(shù)值來描述，并且隨著試驗的結(jié)果不同而取不同的數(shù)值。例如，從一批廢品率為的產(chǎn)品中有放回地抽取次，每次取一件產(chǎn)品，記錄取到廢品的次數(shù).這一試驗的樣本空間為.如果用表示取到廢品的次數(shù)，那末，的取值依賴于實驗結(jié)果，當(dāng)實驗結(jié)果確定了，的取值也就隨之確定了.比如，進(jìn)行了一次這樣的隨機(jī)試驗，實驗結(jié)果，即在次抽取中，只有一次取到了廢品，那末.然而，有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象，也常常能聯(lián)系數(shù)值來描述.例如，擲一枚勻稱的硬幣，觀察正面、背面的出現(xiàn)情況。這一試驗的樣本空間為，其中表示“正面朝上”，表示“背面朝上”，表面上看與數(shù)值沒有聯(lián)系.但如果引入變

5、量，對實驗的兩個結(jié)果，將的值分別規(guī)定為和，即：.一旦實驗的結(jié)果確定了，的取值也就隨之確定了。為了計算n次投擲中出現(xiàn)的正面次數(shù)就只須計算其中“1”出現(xiàn)的次數(shù)了，從而使這一隨機(jī)試驗的結(jié)果與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系.以上兩個例子表明：無論隨機(jī)試驗的結(jié)果本身與數(shù)量有無聯(lián)系，我們都能把實驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來，即可把實驗的結(jié)果數(shù)量化，這個數(shù)隨著試驗的結(jié)果不同而變化，因而，它是樣本點的函數(shù)，這個函數(shù)就是我們要引入的隨機(jī)變量.1、隨機(jī)變量的定義定義1設(shè)某隨機(jī)試驗的樣本空間為，若對中每個樣本點都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，則稱為隨機(jī)變量.由定義可知，隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的單值

6、實值函數(shù)，通常以或希臘字母，，等來表示，而隨機(jī)變量的取值一般用小寫英文字母等來表示.隨機(jī)變量與普通實函數(shù)這兩個概念既有聯(lián)系又有區(qū)別，他們都是從一個集合到另一個集合的映射，它們的區(qū)別主要在于：普通實函數(shù)無需做試驗便可依據(jù)自變量的值確定函數(shù)值，而隨機(jī)變量的取值在做實驗之前是不確定的，只有在做了試驗之后，依據(jù)所出現(xiàn)的結(jié)果才能確定.2、引入隨機(jī)變量的意義引入隨機(jī)變量以后，就可以用隨機(jī)變量來描述隨機(jī)事件?！纠?】在擲硬幣進(jìn)行打賭時，如果規(guī)定出現(xiàn)正面贏1元，出現(xiàn)反面輸1元.這個試驗中，可定義-34-則和就分別表示了事件{出現(xiàn)正面}和{出現(xiàn)反面}，且有.若試驗的

7、結(jié)果本身就是用數(shù)量描述的，則可定義。【例2】在“擲骰子”這個試驗中，用表示{出現(xiàn)點}，且?！纠?】在“測試燈泡壽命”這個試驗中，如果用表示燈泡的壽命（小時），則是定義在樣本空間上的函數(shù)，表示{燈泡的壽命為（小時）}；從而就是事件{燈泡壽命不超過t（小時）}的概率.【例4】在某城市中考察人口的年齡結(jié)構(gòu)，年齡在80歲以上的長壽者，年齡介于18歲至35歲之間的年輕人，以及不到12歲的兒童，它們各自的比率如何。從表面上看，這些是孤立事件，但若我們引進(jìn)一個隨機(jī)變量：表示隨機(jī)抽取一個人的年齡；那末，上述幾個事件可以分別表示成、及.由此可見，隨機(jī)事件的概念是被包

8、容在隨機(jī)變量這個更廣的概念之內(nèi)的。隨機(jī)變量的引入，使概率論的研究由個別隨機(jī)事件擴(kuò)大為隨機(jī)變量所表征的隨機(jī)現(xiàn)象的研究.正因為