概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第二章 隨機(jī)變量及其分布

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1、第二章隨機(jī)變量及其分布§2.1隨機(jī)變量例電話總機(jī)某段時(shí)間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一個(gè)變量X來(lái)描述：X=0，1，2，…隨機(jī)變量的概念例檢測(cè)一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果，也可以用一個(gè)變量來(lái)描述:例考慮“測(cè)試燈泡壽命”這一試驗(yàn)，以X記燈泡的壽命（以小時(shí)計(jì)）則：X=t，(t≥0)設(shè)S是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，若定義則稱S上的單值實(shí)值函數(shù)X(?)為隨機(jī)變量隨機(jī)變量一般用大寫(xiě)英文字母X，Y，Z，?或小寫(xiě)希臘字母?，?，?，?表示隨機(jī)變量是上的映射，此映射具有如下特點(diǎn):定義域S；隨機(jī)性隨機(jī)變量X的可能取值不止一個(gè)，

2、試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知取哪個(gè)值；概率特性X以一定的概率取某個(gè)值或某些值。引入隨機(jī)變量的意義有了隨機(jī)變量，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái)。如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量。{收到不少于1次呼叫}{沒(méi)有收到呼叫}可見(jiàn)，隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi)。也可以說(shuō)，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，就象數(shù)學(xué)分析中常量與變量的區(qū)別那樣。隨機(jī)變量分類所有取值可以逐個(gè)一一列舉全部

3、可能取值不僅無(wú)窮多，而且還不能一一列舉。例有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬(wàn)戶為一開(kāi)獎(jiǎng)組，設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金4000元；一等獎(jiǎng)120名，獎(jiǎng)金400元；二等獎(jiǎng)1200名，獎(jiǎng)金40元；末等獎(jiǎng)4萬(wàn)名，獎(jiǎng)金4元?？疾斓锚?jiǎng)金額X。§2.2離散型隨機(jī)變量及其分布律例有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬(wàn)戶為一開(kāi)獎(jiǎng)組，設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金4000元；一等獎(jiǎng)120名，獎(jiǎng)金400元；二等獎(jiǎng)1200名，獎(jiǎng)金40元；末等獎(jiǎng)4萬(wàn)名，獎(jiǎng)金4元?？疾斓锚?jiǎng)金額X。X的可能取值為：Ｘ04404004000p解：4000，400，40，4，0。.0001.0006.

4、7933.2.006若隨機(jī)變量X的可能取值是有限個(gè)或可列個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量。定義描述X的概率特性常用概率分布或分布律Xp即或概率分布的性質(zhì)非負(fù)性正則性概率分布的特征例1一批產(chǎn)品的次品率為8%，從中抽取1件進(jìn)行檢驗(yàn)，令寫(xiě)出X的分布律.X的分布律為:Xp概率分布圖:0.0801xy0.92解：兩點(diǎn)分布(0–1分布)只取兩個(gè)值的概率分布分布律為：X10pkp1-p0

5、件產(chǎn)品中，有3件次品，任取兩件，X是“抽得的次品數(shù)”，求分布律。X可能取值為0，1，2。例2解：所以，X的分布律為：X012p7/157/151/15注求分布律，首先弄清X的確切含義及其所有可能取值。例3上海的“天天彩”中獎(jiǎng)率為p，某人每天買1張，若不中獎(jiǎng)第二天繼續(xù)買1張，直至中獎(jiǎng)為止。求該人購(gòu)買次數(shù)X的分布律。X=k表示購(gòu)買了k張，前k-1張都未中獎(jiǎng)，第k張中了獎(jiǎng)。幾何分布適用于試驗(yàn)首次成功的場(chǎng)合解：123…k-1k×××…×√例4一汽車沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信

6、號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)，求X的概率分布。Ai={第i個(gè)路口遇紅燈}，i=1，2，3解:設(shè)依題意，X可取值0，1，2，3。P{X=0}=P(A1)=路口3路口2路口1路口3路口2路口1p=1/2，路口3路口2路口1路口3路口2路口1X0123p1/21/41/81/8概率分布：二項(xiàng)分布貝努里概型和二項(xiàng)分布例設(shè)生男孩的概率為p，生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù)。我

7、們來(lái)求X的概率分布。X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，生男孩的概率為p.X=0X=1X=2X=3X=4設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)結(jié)果：Ａ和　，記:將E獨(dú)立地重復(fù)n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生0,1,2,…n次稱X服從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布(binomial)。記作：當(dāng)n=1時(shí)，P(X=k)=pk(1-p)1-kk=0,1即0-1分布（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或，貝努里概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有等

8、可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；且P(A)=p，；（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布。二項(xiàng)分布的分布特點(diǎn)：X~B(n,p)當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1處達(dá)到最大值；當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=[(n+1)p]達(dá)到最大值。計(jì)算例5已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率。解:依題意，p=0.0