奧數(shù)：第4講整數(shù)問題第7講

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1、第14講整數(shù)問題第07講數(shù)論綜合之二例1用a、b、c、d、e分別代表五進制中五個互不相同的數(shù)字，如果是由小到大排列的連續(xù)正整數(shù)，那么所表示的整數(shù)寫成十進制的表示是多少?答案108．分析要想求出所表示的十進制數(shù)，就必須求出也就是要求出c、d、e的具體數(shù)字。詳解由題意知a、b、c、d、e均是0到4之間的不同的數(shù)字．再由是從小到大的連續(xù)自然數(shù)，可得先由即可得代入前面的等式可解得于是我們得到評注大家都知道，一個十進制數(shù)總可表為其各位數(shù)字乘以10的某個次方之和的形式，如對于一般的進制也有類似結果，如本題中將任意進制的數(shù)化為十進制表示，只需要將該數(shù)按其進制展開成和的形式，再按十進制進行計算即

2、可．例2設1、3、9、27、81、243是六個給定的數(shù)，從這六個數(shù)中取出若干個數(shù)，每個數(shù)至多取一次，然后將取出的數(shù)相加得到一個和數(shù)，這樣共得到63個不同的數(shù)．把這些數(shù)從小到大排列起來依次是1、3、3、9、10、12……那么其中第39個數(shù)是多少?答案256．分析觀察題目中所給的六個數(shù)，任何一個數(shù)都比小于該數(shù)的所有數(shù)的和還要大．因此在新得到的63個由小到大的數(shù)中，僅由這些較小數(shù)字相加得到的數(shù)字位排在這個較大數(shù)字的前面．由此知243只可能出現(xiàn)在由前面五個數(shù)組合出的所有和數(shù)之后．而在僅由前面五個數(shù)取出若干個數(shù)相加時，每個數(shù)都有取或不取兩種可能．因此一共可組合出25－1=31個和數(shù)，之所以

3、要減1是因為每個數(shù)都不取這種情況是不允許的．接下來便是有243參與相加的和數(shù)，這些數(shù)中的前8個恰好是由243與1、3、9這三個數(shù)中取出若干個相加得到的，即243、243+1、243+3、243+1+3、243+9、243+1+9、243+3+9、243+1+3+9．由此可見，第39個數(shù)恰好是由243、1、3、9相加得到的和數(shù)，即243+1+3+9=256．詳解略．例3答案440．分析題目中的算式共有40個加項，通過簡單的觀察不難發(fā)現(xiàn)，去掉中括號后，這是一個等差數(shù)列，首尾相加為23．這樣上述算式中的40項恰好兩兩配對，分為20組，每組中的兩項括號內(nèi)的算式之和恰為23．以與為例作進一

4、步分析，以分別表示的小數(shù)部分，我們有由于左邊是整數(shù)，故右邊必是整數(shù)；又23也是整數(shù)，于是是整數(shù)．再注意到任一個數(shù)的小數(shù)部分一定大于或等于0并且小于1，因此定大于或等于0并且小于2．于是我們得到由此我們可求得其他的19組的計算與此類似，每組中的兩項之和也為22．詳解根據(jù)以上的分析，計算如下：例4甲乙兩個自然數(shù)乘積比甲數(shù)的平方小1988，那么滿足上述條件的自然數(shù)值幾組?答案6組．分析題目條件中涉及到甲乙兩個自然數(shù)以及它們的乘積和甲數(shù)的平方．這四個數(shù)都是未知數(shù)，而題目條件中僅給出甲乙的乘積與甲數(shù)平方的關系，因此可以用不定方程來求解．詳解設甲數(shù)為a，乙數(shù)為b，由題目條件可列‘出方程：．將

5、此方程化為　　　　　　由于再注意到因此71必是a的約數(shù)．那a可以是71、71×2、71×2×2、71×7、71×2×7、71×2×2×7這6種可能，6個b分別取值71－7×22、71×2－2×7、71×2×2－7、71×2×7－2、71×2×2×7－1．綜上所述，滿足題目的條件的自然數(shù)共有6組．評注本題的難度并不是列出不定方程，而是列出方程后如何求解．我們經(jīng)過簡單的分析，發(fā)現(xiàn)71必是a的約數(shù)，這樣就簡化了計算過程；再通過討論a中含質因數(shù)7和2的情況，得出a共有6種可能的取值．例5將95寫成若干個(至少兩個)連續(xù)自然數(shù)之和，有多少種不同的寫法?給出全部可能的答案．答案3種，分別是9

6、5=47+48=17+18+……+21=5+6+……+14．分析題目要求將95寫成兩個或兩個以上連續(xù)自然數(shù)之和．如果寫成奇數(shù)個，則95是其中間數(shù)的倍數(shù)；如果寫成偶數(shù)個，則95是其中間兩個數(shù)和的倍數(shù)．由此進行與95約數(shù)有關的不定方程求解．詳解將95分解質因數(shù)，95=5×19．若寫成奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的和，則95=項數(shù)×中間數(shù)．經(jīng)試驗，只有項數(shù)=5，中間數(shù)=19，即17+18+19+20+21=95如果寫成偶數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的和，則95=經(jīng)試驗知中間兩項和=95，項數(shù)=2，95=47+48；或中間兩項和=19，項數(shù)=10，即19=9+10，95=5+6+……+14．所以，共3種不同的寫法

7、．評注本題與上一題本質上同一類問題，只不過在列方程時不像上一題那么直接，并且列出不定式方程后，求解的難度也比上一題要大一些，其中還利用到了等差數(shù)列的性質．例6甲、乙二人做同一個數(shù)的帶余除法，甲將其除以8，乙將其除以9，甲所得的商數(shù)與乙所得的余數(shù)之和為13．那么甲所得的余數(shù)是多少?答案4．分析題目中被除數(shù)及其除以8和9的商及余數(shù)均未知，只知道甲所得的商與乙所得的余數(shù)之和是13．未知數(shù)多于條件，明顯是一道不定方程的題目．詳解設這個數(shù)為a，甲乙做帶余除法的結果分別為顯然于是由此或若則于