奧數(shù)：第15講 整數(shù)問題第08講

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1、第15講整數(shù)問題第08講數(shù)論綜合之三例1有四個(gè)不同的自然數(shù)，它們當(dāng)中任意兩個(gè)數(shù)的和是2的倍數(shù)，任意三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)．為了使這四個(gè)數(shù)的和盡可能地小，這四個(gè)數(shù)應(yīng)分別是多少?答案1、7、13、19．分析由于任意兩個(gè)數(shù)之和是2的倍數(shù)，因此這四個(gè)數(shù)必奇偶性相同．另一方面，由于任意三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)，故這四個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)相同，即它們一定全部是3的倍數(shù)，或都是3的倍數(shù)加1，或都是3的倍數(shù)加2．詳解將全體自然數(shù)按除以3所得的余數(shù)為0，1，2分為三類：3、6、9、12、15、18、21……1、4、7、10、13，16、19……2、5、8、11、14、17、20……根據(jù)

2、上面的分析，我們知道滿足題目條件的四個(gè)不同的自然數(shù)必含于上述三類的某一類中．顯然，1、7、13、19這四個(gè)數(shù)滿足和最小，從而為所求．評(píng)注將自然數(shù)按剩余類劃分是數(shù)論中很重要的方法．一般地，如果n是自然數(shù)，那么全體自然數(shù)按除以n所得的余數(shù)為0、1……，n－1可分為n個(gè)剩余類，每一類中的自然數(shù)除以n所得的余數(shù)相同．例2在小于5000的自然數(shù)中，能被11整除，并且數(shù)字和為13的數(shù)共有多少個(gè)?答案18個(gè)．分析由于被11整除的數(shù)的特征是奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差(以大減小)可以被11整除，而題目告訴我們各位數(shù)字之和為13，因此這個(gè)差只能為11．‘注：這里所說的奇數(shù)位

3、數(shù)字或偶數(shù)位數(shù)字是指從左往右數(shù)．詳解設(shè)滿足條件的自然數(shù)奇數(shù)位數(shù)字之和為a，偶數(shù)位數(shù)字之和為b，根據(jù)題目條件及上面的分析，知a+b=13、a－b=11或b－a=11，由此可解得a=12、b=1或b=12，a=1．因此滿足題目條件的自然數(shù)只能形如其中x+y=12．對(duì)于x可取3、4……8、9這7種數(shù)值．對(duì)于x也可取這7種數(shù)值，但對(duì)于與注意到這些自然數(shù)應(yīng)小于5000，因此x只能取3、4這兩個(gè)值．綜上所述，滿足題目要求的自然數(shù)共有7+7+2+2=18個(gè)．評(píng)注本題主要考查的是被11整除的自然數(shù)的性質(zhì)，以及和差問題的應(yīng)用．例3將自然數(shù)N接寫在任意一個(gè)自然數(shù)的右邊，如果得到的新

4、數(shù)都能被N整除，那么稱N為“魔術(shù)數(shù)”．問小于1996的自然數(shù)中有多少個(gè)魔術(shù)數(shù)?答案14個(gè)．分析首先考慮N是一位數(shù)的情形．對(duì)于任一個(gè)自然數(shù)，將N寫在其右邊，相當(dāng)于將該自然數(shù)乘以10再加上N，如果這樣得到的數(shù)都能被N整除，特別地1×10=10可被N整除．反過來，如果10可被N整除，那么顯然任何自然數(shù)乘以10也可被N整除．由以上的討論知所有的一位魔術(shù)數(shù)恰好是10的一位數(shù)約數(shù)．同理，對(duì)于兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)，可得類似的結(jié)論．詳解根據(jù)上面的分析，給出如下解答：10的一位數(shù)約數(shù)有1、2、5共3個(gè)；100的兩位數(shù)約數(shù)有10、20、25、50，共4個(gè)；1000的三位數(shù)約數(shù)有1

5、00、125、200、250、500，共5個(gè)；10000的四位數(shù)約數(shù)中小于1996的有1000、1250，共2個(gè)．因此小于1996的自然數(shù)中有3+4+5+2=14個(gè)魔術(shù)數(shù)．例4在1、2、3……1994、1995這1995個(gè)數(shù)中找出所有滿足下面條件的數(shù)a來：1995+a能整除1995×a．答案210、532、798、1254、1330、1680．分析題目是要從1、2、3……1994、1995這1995個(gè)數(shù)中找出使是整數(shù)的那些自然數(shù)．由于這個(gè)分式的分子分母中都含有未知數(shù)a，討論起來較為麻煩，因此我們先要對(duì)它做如下的變形：于是我們只要求出使為整數(shù)的那些a即可．由于a在

6、1、2、3……1994、1995這1995個(gè)數(shù)中取值，故1995+a的取值介于1996與3990之間，并且只能是的約數(shù)．于是我們只要求出1995×1995的所有介于1996與3990之間的約數(shù)作為1995+a的取值，再求出相應(yīng)的a即可．詳解根據(jù)上面的分析，我們首先求出1995×1995的所有介于1996與3990之間的約數(shù)．它們分別為因此，如果1995+a能整除1995×a，那么1995+a只能為上面的6種取值，相應(yīng)的a分別為210、532、798、1254、1330、1680．例5A、B、C、D四人都常去電影院，A每隔2天去一次，B每隔4天去一次，C每隔6天去

7、一次，D每隔10天去一次．今天他們四人都去電影院，將來會(huì)有連續(xù)兩天恰好都有兩人去電影院．如果今天算第一天，那么最早出現(xiàn)的具有上述性質(zhì)的連續(xù)兩天是第幾天和第幾天?答案第441天和第442天．分析題目告訴我們A每3天去一次電影院，B每5天去一次，C每7天去一次，而D每11天去一次．第1天A、B、C、D四人同時(shí)去了電影院，于是我們?nèi)菀椎贸鋈绻鞌?shù)是15的倍數(shù)加1，那么A、B兩人去電影院；如果天數(shù)是21的倍數(shù)加1，那么A、C兩人去電影院；如果天數(shù)是33的倍數(shù)加1，那么A、D兩人去電影院；如果天數(shù)是35的倍數(shù)加1，那么B、C兩人去電影院；如果天數(shù)是55的倍數(shù)加1，那么B、

8、D兩人去電影院；如果天數(shù)