奧數(shù)：第05講 整數(shù)問題第6講

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1、第05講整數(shù)問題第6講數(shù)論綜合之一例1如果把任意n個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)字只有兩種可能．那么n是多少?答案n=4．分析本題是考察n個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)字的可能性．問題的關(guān)鍵在于這n個(gè)自然數(shù)是連續(xù)的，因此只要n大于或等于2，這n個(gè)自然數(shù)中就一定有偶數(shù)．另一方面，只要n大于或等于5，這n個(gè)自然數(shù)中就至少有一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5．由此我們發(fā)現(xiàn)，如果n大于或等于5，那么這幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字只能是0這一種可能．于是我們只需對n為2、3、4這三種取值逐一分析，即可得出答案．詳解根據(jù)上述分析，知道n一定小于5．若，n=2，則1×2=2，2×3=6，4×5=2

2、0……因此2個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積的個(gè)位數(shù)字至少也有三種可能，不合題意．若n=3，則1×2×3=6，2×3×4=24，3×4×5=60，因此，三個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積的個(gè)位數(shù)字也至少有三種可能，不合題意．若n=4，則連續(xù)的4個(gè)自然數(shù)除以5的余數(shù)分別為0、1、2、3，或1、2、3、4或2、3、4、0或3、4、0、1或4、0、1、2，那么它們的乘積被5除的余數(shù)只能是即有0與4兩種可能．又因?yàn)槌朔e是偶數(shù)，故其個(gè)位數(shù)字只有0、4．因此4個(gè)連接自然數(shù)之積的個(gè)位數(shù)字只有0或4兩種可能．例2如果某整數(shù)同時(shí)具備如下三條性質(zhì)：①這個(gè)數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù)，②這個(gè)數(shù)除以2所得的商也是質(zhì)數(shù)，③這個(gè)數(shù)除以9所得的余

3、數(shù)是5，那么我們稱這個(gè)整數(shù)為幸運(yùn)數(shù)．求出所有的兩位幸運(yùn)數(shù)．答案14．分析題目給出了所謂幸運(yùn)數(shù)具備的三個(gè)條件．①幸運(yùn)數(shù)一定是某個(gè)質(zhì)數(shù)加1得到的．②幸運(yùn)數(shù)一定是某個(gè)質(zhì)數(shù)的兩倍．③幸運(yùn)數(shù)一定是9的某一個(gè)倍數(shù)加5．題目要求的是所有的兩位幸運(yùn)數(shù)．這本身就使我們的求解范圍縮小在兩位數(shù)之內(nèi)．先從條件②入手，再利用條件①和③，最終求出所有的兩位幸運(yùn)數(shù)．詳解設(shè)所求的幸運(yùn)數(shù)是質(zhì)數(shù)P的兩倍，即此幸運(yùn)數(shù)為2P，則P的所有可能取值為5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47．于是2P－1的所有可能取值為9、13、21、25、33、37、45、57、6、1、73、81、8

4、5、93．根據(jù)題目條件①，2p一1應(yīng)為質(zhì)數(shù)，因此2p－1只可能為13、37、61或73．再由條件③知2p－1除以9所得余數(shù)應(yīng)為4，于是2P－1只能等于13，從而這個(gè)幸運(yùn)數(shù)只能是2P=14．評注本題采用的辦法是窮舉法．一般地，如果問題的答案只有有限多種可能性，并且數(shù)量較少，我們都可用窮舉法：先列舉出所有可能的解，逐步排除，最終得出答案．例3從一張2002毫米長、847毫米寬的長方形紙片上剪下一個(gè)邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個(gè)邊長盡可能大的正方形．按照上面的過程不斷地重復(fù)，最后剪得正方形的邊長是多少毫米?答案77毫米．分析乍一看好像

5、無從下手，但是我們只要按照題目的條件剪幾個(gè)正方形之后便可發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．首先，原來的長方形長為2002毫米，寬為847毫米，因此第一個(gè)剪下的正方形邊長應(yīng)為847毫米，而剩下的長方形長為2002－847=1155毫米，寬仍為847毫米．按照題目的要求，第二次剪下的正方形邊長仍為847毫米，但是此時(shí)剩下的長方形的長和寬均發(fā)生了變化，其長變?yōu)?47毫米，而寬為1155－847=308毫米．其次，對于這個(gè)數(shù)的長方形，我們按照題目的要求再逐個(gè)剪去相應(yīng)的正方形……依次類推，直至進(jìn)行若干次這樣的操作后剩下的長方形恰好是寬的倍數(shù)，此時(shí)只需一個(gè)一個(gè)地剪下以寬為邊長的正方形，恰好將紙片分割完．

6、詳解從長2002毫米、寬847毫米的長方形紙板上首先可剪下邊長為847毫米的正方形，這樣的正方形的個(gè)數(shù)恰好是2002除以847所得的商，而余數(shù)恰好是剩下的長方形的寬．于是有由上述一系列帶余除法算式不難看出，最后剪得的正方形的邊長為77毫米．評注本題的求解過程其實(shí)是求2002與847的最大公約數(shù)的過程．上述的計(jì)算過程稱為輾轉(zhuǎn)相除法，也稱歐幾里德算法．‘例4把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干組，要求每一組中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1．那么最少要分幾組?答案3組．分析本題是一道關(guān)于最大公約數(shù)的問題．我們知道兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1，即互質(zhì)相當(dāng)于它們的質(zhì)因數(shù)分

7、解式中沒有相同的質(zhì)因數(shù)．這就提示我們將題目所給的數(shù)字質(zhì)因數(shù)分解．詳解將題目中的數(shù)字質(zhì)因數(shù)分解如下：26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=32×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．由于題目要求將這些數(shù)字分組，滿足每組中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1，而26、91、143均含質(zhì)因數(shù)13，因此它們兩兩不在同一組，于是這些數(shù)至少應(yīng)分為3組．我們這里推出一種分法：將26、35分為一組，91、34、33分為一組，而143、63、85分為一組．評注對于涉及到最大公約數(shù)的問題，通常將數(shù)