談空間解析幾何中的“距離”

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1、談空間解析幾何中的“距離”　　[摘要]本文分類給出了空間中的點(diǎn)到直線間的距離、點(diǎn)到平面間的距離及異面直線間的距離等空間距離的多種計(jì)算方法。　　[關(guān)鍵字]高等數(shù)學(xué)點(diǎn)直線平面距離　　在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的空間解析幾何部分時(shí)，經(jīng)常會碰到要計(jì)算“距離”，比如求點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離，求異面直線間的距離等等.尤其是異面直線距離的求解是一個難點(diǎn)，困難在于如何求兩異面直線間的公垂線.從不同的角度分析問題，往往便會得到不同的解法.本文綜合向量積、數(shù)量積、點(diǎn)線面的關(guān)系及函數(shù)最值的求法，分類討論空間中的“距離”，并給出了多種求解方法，從而能夠活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，有效地開發(fā)學(xué)員的創(chuàng)造靈感.　

2、　一、點(diǎn)點(diǎn)距離　　已知空間中兩點(diǎn)P0（x0，yo，zo）和P1（x1，y1，z1）則P0與P1之間的距離為　　二、點(diǎn)線距離　　求空間一點(diǎn)P0（x0，yo，zo）到直線的距離.　?。?）公式法　　（2）向量積法設(shè)直線L的方向向量為，再取L上的一個點(diǎn)P1（x1，y1，z1），則由向量積的幾何意義，可知　　【注】其實(shí)將，P1及P0代入上式，便得到公式法中的計(jì)算公式.6　?。?）垂足法求出P0在直線上的垂足P點(diǎn)的坐標(biāo)，那么

3、P0P

4、就是P0到直線的距離.　?。?）（一元函數(shù)）最值法求出P0與直線L上任一點(diǎn)的距離的最小值.　?。?）平面束法[1]求點(diǎn)P0到過直線L的平面束的距離的最大

5、值.　　例1求點(diǎn)M（4，1，-6）到直線的距離.　　解法1（垂足法）設(shè)M在直線L上的投影點(diǎn)坐標(biāo)M0（x0，yo，zo）則　?。?）　　因?yàn)镸M0垂直直線L，而=（2，3，-1）　　MM0=（x0-4，y0-1，z0+6）故　　2（x0-4）+3（y0-1，z0+6）（2）　　聯(lián)立（1）和（2），可得　　x0=3，y0=3，z0=-2　　因此，點(diǎn)M在直線L上的投影點(diǎn)為M0（3，3-2）于是，點(diǎn)M到直線L的距離　　解法2（最值法）取直線L上的任意一點(diǎn)B（2t+1，3t，-t-1），則　　設(shè)f（t）=14t2-28t+35，令f`（t）=0得t=1由題意可知有最小值f（1）=21

6、因此點(diǎn)M到直線L的距離　　解法3（平面束法）將直線L的方程改寫為，則過直線L的平面束為　　3x-2y-3+λ（y+3z+3）=0，　　即3x+（λ-2）y+3λz+3（λ-1）=0　　則點(diǎn)M到上述平面束的距離為　　欲求d（λ）的最小值，只需求出d2（λ6）的最大值.利用一元函數(shù)求極值的方法，令[d2（λ）]`得λ=-4及（舍去，因?yàn)榇藭r(shí)d（λ）=0，所對應(yīng)的平面是過直線L且過點(diǎn)M的平面，其與λ=-4所對應(yīng)的平面垂直），此時(shí)又因?yàn)槠矫媸腥鄙倨矫鎦+3z+3=0而點(diǎn)M到平面y+3z+3=0的距離比較可知最大.因此，點(diǎn)M到平面L的距離為　　【注】這里用到了點(diǎn)到平面的距離公式，在

7、實(shí)際解題時(shí)，可將直線、平面結(jié)合起來，使得問題更容易解決.　　三、點(diǎn)面距離　　求空間一點(diǎn)P0（x0，y0，z0）到平面π：Ax+By+Cz+D=0的距離.　　（1）公式法　　【注】通常直接套公式法最簡單.　?。?）垂足法求出P0在平面上的垂足P點(diǎn)的坐標(biāo)，那么

8、P0P

9、就是P0到平面的距離.　?。?）條件極值法求出P0在平面上任一點(diǎn)的距離的最小值.　　例2求M（5，0，-3）到平面π：x+y-2z+1=0的距離.　　解（條件極值法）任取A（x，y，z）∈π則x+y-2z+1=0于是，點(diǎn)M到平面π的距離d滿足　　設(shè)F（x，y，z，λ）=（x-5）2+y2+（z+3）3+λ（x+y

10、-2z+1）　　令　　解得x=3，y=-2，z=1.由題意知此時(shí)d2有最小值d2min=24.因此，M到平面π的距離為　　四、線線距離　　（一）異面直線間的距離6　　求異面直線與之間的距離.　?。?）公式法　?。?）混合積法設(shè)L1，L2的方向向量分別為取A∈L1，B∈πL2，構(gòu)造以為三條棱的平行六面體，則該平行六面體的體積是，其一底面積是.L1與L2之間的距離為該平行六面體以兩直線的方向向量為底　　面所對應(yīng)的高，所求的距離　　（3）投影法L1，L2的公垂線的方向向量可以取　　所求的距離就是上的投影，即　　注：混合積法與投影法其實(shí)公式是相同的，只是從不同的角度分析距離而已，公

11、式法可直接由混合積法或投影法推出.　?。?）垂足法求出公垂線在L1，L2上的垂足，計(jì)算兩垂足之間的距離.　　（5）（二元函數(shù)）最值法求L1上任意一點(diǎn)與L2上任一點(diǎn)之間的距離的最小值.　?。?）線面平行法求L1與過L2且與L1平行的平面之間的距離.　?。?）面面平行法求過L1且與公垂線垂直的平面與過L2且與公垂線垂直的平面之間的距離.　　例3求異面直線與的距離.　　解法1（垂足法）L1，L2的方向向量分別為　　設(shè)公垂線與L1的交點(diǎn)為P（1，-t1，-t1）與L2的交點(diǎn)為Q（6t2，-3t2，-2）因?yàn)樗浴　〗夥?（