解析幾何中的最值距離探析.doc

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1、解析幾何中的最值距離探析摘要：解析幾何中的最值問(wèn)題是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，既有選擇題，乂有填空題、解答題，難度中等偏高?高考題中有關(guān)解析兒何中求距離最值問(wèn)題，最終都可以轉(zhuǎn)化為定義或?qū)ΨQ(chēng)思想、三角有界求值域的方法解Z,一般思想轉(zhuǎn)折線(xiàn)和為線(xiàn)段最短問(wèn)題.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；解析幾何；求線(xiàn)段最值；曲化直中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1674-9324(2014)07-0241-01解析幾何中的最值問(wèn)題是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，既有選擇題又有填空題、解答題，難度中等偏高?考查上述問(wèn)題時(shí)，通?？疾楹瘮?shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸及分類(lèi)討論等思想方法?這就要求同學(xué)們

2、對(duì)最值問(wèn)題要做到心中有數(shù)，運(yùn)算準(zhǔn)確，爭(zhēng)取在此類(lèi)問(wèn)題上能夠脫穎而出?下面，就常常出現(xiàn)的幾類(lèi)題型介紹一下自己的看法.例1已知點(diǎn)A(-3,8),B(2,2),點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，求當(dāng)

3、AP

4、+

5、PB

6、最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B1,連AB1交x軸于點(diǎn)P,則易知點(diǎn)P滿(mǎn)足

7、AP

8、+

9、PB

10、最小?可求得直線(xiàn)AB1的方程2x+y-2二0.令y二0,則x二1?故所求點(diǎn)P的處標(biāo)為(1,0)?點(diǎn)評(píng)：此題考查直線(xiàn)上一點(diǎn)到直線(xiàn)同側(cè)的兩點(diǎn)距離和的最小值，往往轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，用直線(xiàn)方程的方法求解?很好地把直線(xiàn)問(wèn)題與幾何問(wèn)題結(jié)合到了一起，難度不大，屬于

11、易得分題.例2若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x2+y2+8x-6y+16二0,則x+y+1的最大值為【解析】解法一：令x+y+1二t,則依題設(shè)圓C：(x+4)2+(y-3)2=9與直線(xiàn)1：x+y+1-1二0有公共點(diǎn)，從而圮-3?WtW3■.故所求最大值為31L解法二：因?yàn)閤,y滿(mǎn)足C：(x+4)2+(y-3)2=9,所以可設(shè)x=-4+3cos9y二3+3sin0(0為參數(shù))?所以x+y+1二3cos0+3sin0二3?sin(◎+■).故所求最大值為3H.點(diǎn)評(píng)：此題考查直線(xiàn)與圓位置關(guān)系問(wèn)題?解法一考慮用圓心到直線(xiàn)距離與半徑比較大小，同學(xué)們?nèi)菀紫氲降⒁庥?jì)算

12、準(zhǔn)確?解法二則巧妙地運(yùn)用了三角代換方法，簡(jiǎn)化了運(yùn)算步驟，是較好的選擇.例3如圖，已知B,C為橢圓■+■二1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A(-2,■)為定點(diǎn)，M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),求

13、MA

14、+

15、MC

16、的最小值.【解析】根據(jù)橢圓定義，有

17、MA

18、+

19、MC

20、二

21、MA

22、+(8-

23、MB

24、)=8-(

25、MB

26、-

27、MA

28、).為使

29、MA

30、+

31、MC

32、取得最小值，只需

33、MB

34、-

35、MA

36、取得最大值，A、B、M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)才可以取得,此時(shí)

37、MB

38、-

39、MA

40、^

41、AB

42、=B,故所求最小值為8-■?點(diǎn)評(píng)：此題考查橢圓第一定義的靈活運(yùn)用，要熟練掌握轉(zhuǎn)化變形，同時(shí)應(yīng)用了三點(diǎn)共線(xiàn)原理，難度稍大，屬于拉分題

43、.例4P為雙曲線(xiàn)?-■二1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x+5)2+y2二4和(x-5)2+y2二4上的點(diǎn)，求

44、PM

45、-

46、PN

47、的最大值.【解析】根據(jù)題意，作出右圖?顯然，01,02為雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn).要使

48、PM卜

49、PN

50、最大，即要使

51、卩M

52、最大，

53、卩N

54、最小，以此作出M,N具體位置如右圖,則容易得出

55、PM

56、-

57、PN

58、最大值為:

59、PM

60、-

61、PN

62、=(IP01I+2)-(

63、PO2

64、-1)二3+

65、卩01卜

66、卩02二3+6二9.點(diǎn)評(píng)：此題屬于綜合性較強(qiáng)的題型，既考查了圓的方程，乂考查了雙曲線(xiàn)的性質(zhì)?但最終還是回歸到雙曲線(xiàn)的定義上，充分體現(xiàn)了回歸課本的

67、指導(dǎo)思想.例5點(diǎn)A(3,2)為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y2二4x上移動(dòng)，則當(dāng)

68、PA

69、+

70、PF

71、取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是?【解析】拋物線(xiàn)y2二4x的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-l,設(shè)卩到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d,則

72、PA

73、+

74、PF

75、=

76、PA

77、+d?要使

78、PA

79、+

80、PF

81、取得最小值，由右圖可知過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)垂直時(shí)，

82、PA

83、+

84、PF

85、取得最小值，把y二2代入y2二4x,得P(l,2).點(diǎn)評(píng)：此題求取最值時(shí)，沒(méi)有上來(lái)后先設(shè)點(diǎn)，而是首先觀察點(diǎn)的位置,看能否借助概念，巧妙進(jìn)行轉(zhuǎn)化，于是考慮拋物線(xiàn)的定義，順利解決了此題.綜上所述，高考題屮有關(guān)解析幾何

86、中求距離最值問(wèn)題，最終都可以轉(zhuǎn)化為定義或?qū)ΨQ(chēng)思想、三角有界求值域的方法解之，一般思想轉(zhuǎn)折線(xiàn)和為線(xiàn)段最短問(wèn)題.