補形法的應(yīng)用

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1、補形法的應(yīng)用　　【摘要】本文通過補形法在平面幾何和立體幾何中的具體運用，闡述了“補”的思想方法的重要性和巧妙性?！　　娟P(guān)鍵詞】補形法；等腰三角形；正方形；圓；正四棱錐；正四面體　　有些幾何問題，直接從原圖形出發(fā)進(jìn)行分析，有時顯得十分繁難，甚至?xí)萑肜Ь?。這時，若將原圖形添補成一個特殊的、簡單的、完整的新圖形，則能使問題的本質(zhì)得到充分的顯示，從而使問題化繁為簡。補形法就是根據(jù)題設(shè)的條件和圖形，經(jīng)過觀察、分析和聯(lián)想，運用添加輔助線的方法，將其拓展為范圍更廣、特征更明顯、更為熟悉的幾何圖形，從而溝通條件和結(jié)論之間的聯(lián)系?！　∫?、在平面幾何

2、中的應(yīng)用　　例1、已知：如圖1，△ABC中，AB=■BC，∠ABC的平分線交AC于E，CD⊥BE于D，求證：BE=ED　　證明：延長BA交CD的延長線于F，易證△BCF是等腰三角形，所以BC=BF，CD=■CF，而AB=■BC，則AB=■BF=■AF。作DG∥CA交BF于G，則AG=■AF=AB，則BE=ED?！　±?、在△ABC中，AD⊥BC，∠BAC=45°，BD=2，CD=3，求△ABC的面積　　解：如圖2，作△ABD、△ACD關(guān)于AB、AC對稱的△ABE、△ACH，延長EB、HC交于F，則四邊形AHFE是正方形。3　　設(shè)AD

3、=x，從而正方形的邊長為x，又CF=HF-CH=x-3，BF=EF-BE=x-2，在Rt△BCF中，BC2=BF2+CF2，即（x-3）2+（x-2）2=25，解得x=6，則S△ABC=■BC×AD=■×5×6=15?！　±?、已知：如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=AC=AD=3，BC=2，求對角線BD的長?！　〗猓阂訟為圓心，AB長為半徑作⊙A，而AB=AC=AD，所以C、D也在⊙A上，延長BA交⊙A于E，則BE=2AB=6，而AB∥DC，所以DE=BC，則DE=BC=2。又BE為⊙A的直徑，則∠BDE=90°，從而

4、BD=■=4■?！　《?、在立體幾何中的應(yīng)用　　把正四面體補成一個正方體，把三棱柱補成一個平行六面體等都屬于補形法在立體幾何中的應(yīng)用。下面我們看看補形法的一次巧妙運用：　　例4、如圖，正四棱錐P-ABCD的所有棱長等于2a，另有一個棱長等于2a的正四面體，按如圖所示的方式把它們拼起來，拼成的立體圖形有幾個面？　　分析：我們先用一般的方法。取BC的中點M，PE的中點N，且O為P在面ABCD上的射影，連接OM，MN，易證BC⊥MN，BC⊥OM，則BC⊥面OMN，又BC⊥OM，BC⊥PO，則BC⊥面OMP，所以O(shè)、M、N、P四點共面。易求P

5、O=MN=■a，而PN=OM=a，OMNP是平行四邊形，則OM∥PE，又OM∥AB，∴AB∥CD∥PE，則面PAB∩面PCD=PE（∵CD∥面PAB，且面PCD過CD，∴面PCD與面PAB的交線e平行于AB，即e∥AB，又面PAB與面PCD都經(jīng)過點P，則該交線e一定過P，即P∈e，而AB∥PE，∴PE與e重合），∴面PAB與面PBE共面，面PCD與面PCE共面，則所拼成的立體圖形只有5個面。3　　方法二：對于上面的論述，如果反過來逆向考慮，要是能通過補形法把正四棱錐P-ABCD補充成另一個立體圖形，并且能在所拼成的位置剛好能截出一個

6、正四面體，那問題就解決了?！　“颜睦忮FP-ABCD補充成如圖所示的立體圖形，使得Q-BCFE是一個與正四棱錐P-ABCD完全一樣的立體圖形，且A、B、E、F、C、D共面，則PB=PC=QB=QC=BC=2a，只要證到PQ=2a即可?！　≡O(shè)M、N分別為P、Q在平面AEFD內(nèi)的射影，易證PQ=MN=2a，則BCPQ為正四面體，則問題得以解決?！　∽ⅲ簩τ谶@個題目，一般可能認(rèn)為拼成的立體圖形應(yīng)該是7個面，因為給人的感覺這兩個立體圖形還是有比較大的差異。雖然所有的棱長都相等，但它們相關(guān)的一些二面角未必相等。真所謂“大千世界，無奇不有”，點

7、E恰好既在面PAB上又在面PCD上。對比兩種方法，方法二用的補形法的確很簡潔?！　⊥ㄟ^對幾何體的“補”能發(fā)現(xiàn)未知與已知之間的內(nèi)在聯(lián)系，這種方法不僅蘊含了一種構(gòu)造思想，而且還反映了整體與部分和普遍聯(lián)系的哲學(xué)思想。　　【參考文獻(xiàn)】　　[1]寧連華.數(shù)學(xué)探究教學(xué)設(shè)計研究.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006年04期　　[2]王立文，王興林.巧用補形法解平面幾何題3