解析幾何中求距離最值問(wèn)題的方法與策略

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1、解析幾何中求距離最值問(wèn)題的方法與策略　　關(guān)于解析幾何中的距離的最值問(wèn)題，是我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)中經(jīng)常遇到的一種題型，它有時(shí)以函數(shù)最值的形式出現(xiàn)，有時(shí)直接以解析幾何題的形式出現(xiàn)，對(duì)于這種題型的處理方法，如果得當(dāng)，就會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.本文以幾個(gè)例題來(lái)談?wù)動(dòng)嘘P(guān)這種題型的最佳解決方法.　　一、直線上一點(diǎn)到兩已知點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題　　1.同側(cè)求差取最大，直接連接找交點(diǎn).　　例1.設(shè)有兩點(diǎn)P（3，x）、Q（2，y），其中x+y=2，且x、y∈R+，求P、Q到原點(diǎn)O的距離之差的最大值，并求取得最大值時(shí)的x和y的值.　　分析：由題意可知=

2、OP

3、-

4、

5、OQ

6、=-=-，即在x軸上求一點(diǎn)M（x，0），使它到點(diǎn)A（0，3）和點(diǎn)B（2，2）距離的差取得最大值.又A、B兩點(diǎn)都在x軸的同側(cè)，為此，連接AB并延長(zhǎng)使之交x軸于一點(diǎn)，易證該點(diǎn)即是所求的點(diǎn)M，從而AB的長(zhǎng)就是所求的最大值.　　解析：由分析易得

7、OP

8、-

9、OQ

10、的最大值為

11、AB

12、=，此時(shí)直線AB的方程為y=-x+3.令y=0得x=6即所求的x=6，y=-4.　　2.異側(cè)求差取最大，找出對(duì)稱直接連.　　例2.在直線l∶3x-y-1=0上求一點(diǎn)M使它到點(diǎn)A（4，1）和點(diǎn)B（0，4）的距離的差最大.　　分析：由題意可知A、B兩點(diǎn)分別在直線l

13、的兩側(cè)，故設(shè)B（0，4）點(diǎn)關(guān)于直線l∶3x-y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為B′，易求得B′（3，3），連接AB′4并延長(zhǎng)交于l一點(diǎn)，易證該點(diǎn)即是所求的點(diǎn)M.　　解析：由分析易得

14、MA

15、-

16、MB

17、的最大值為

18、AB′

19、=，此時(shí)直線AB′的方程為y=-2x+9.　　由3x-y-1=0，y=-2x+9？圯x=2，y=5，故所求M點(diǎn)為（2，5）.　　3.異側(cè)求和取最小，直接連接找交點(diǎn).　　例3.求函數(shù)f（x）=+的最小值.　　分析：f（x）=+　　=+表示動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)A（-3，3），B（5，-1）的距離之和，而A、B兩點(diǎn)分別位于x軸的上下兩側(cè)

20、，由此連接AB交x軸于一點(diǎn)，易證該點(diǎn)即是所求的P點(diǎn).　　解析：由題意及分析易得直線AB的方程為y=　　-x+，令y=0得x=3即所求的P點(diǎn)為（3，0）.　　4.同側(cè)求和取最小，找出對(duì)稱直接連.　　例4.在直線l∶x-y+9=0上任取一點(diǎn)P，又知M　?。?3，0），N（3，0），試問(wèn)P點(diǎn)在何處時(shí)

21、PM

22、+

23、PN

24、取得最小值？　　解析：由題意可知M（-3，0），N（3，0）在直線l同側(cè)，要使

25、PM

26、+

27、PN

28、取得最小值.　　設(shè)M（-3，0）點(diǎn)關(guān)于直線l∶x-y+9=0的對(duì)稱點(diǎn)為M′，易求得M′（-9，6），連接M′N并延長(zhǎng)交l于一點(diǎn)，易

29、證該點(diǎn)即是所求的點(diǎn)P.又直線M′N的方程為y=-x+，即x+2y-3=0.　　由x-y+9=0，x+2y-3=0，得x=-5，y=4，即所求P點(diǎn)位置為（-5，4）.4　　點(diǎn)評(píng)：由上可知，上述問(wèn)題可用如下口訣給予解決：同側(cè)求差取最大，直接連接找交點(diǎn)；異側(cè)求差取最大，找出對(duì)稱直接連；異側(cè)求和取最小，直接連接找交點(diǎn)；同側(cè)求和取最小，找出對(duì)稱直接連.　　二、利用數(shù)形結(jié)合求距離的最值問(wèn)題　　例5.設(shè)m≥1，求坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)A（m+，m-　　），B（1，0）之間距離的最小值.　　分析：此題若直接用距離公式求解，比較麻煩.如果從軌跡圖形入手，最簡(jiǎn)

30、捷.先將動(dòng)點(diǎn)的軌跡求出來(lái)，將動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與軌跡上的點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題.　　解析：A不是動(dòng)點(diǎn)嗎？那么A的軌跡是什么？這是十分自然的聯(lián)想，由x=m+，y=m-可知，A點(diǎn)的軌跡方程為x2-y2=4，繪出如上圖所示的雙曲線的一支，立即可以看出，

31、AB

32、的最小值為1.　　三、將兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)　　例6.如圖，設(shè)P為圓（x-3）2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，Q為拋物線y2=x上的動(dòng)點(diǎn)，求

33、PQ

34、的最小值.　　分析：利用圓上動(dòng)點(diǎn)到圓心的距離等于常數(shù)的特點(diǎn)，將圓的動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為圓心定點(diǎn)，從而兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的距離最值問(wèn)題，就轉(zhuǎn)化為一個(gè)動(dòng)

35、點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題.　　本題P，Q兩點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)，如果設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求，顯然非常困難.這就需要把這兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量來(lái)處理.P點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，但P點(diǎn)到圓心M（3，0）的距離是定值，利用這個(gè)定值來(lái)解決.　　解析：設(shè)Q（y2，y），則

36、QM

37、2=（y2-3）2+y2=y4-5y2+9=（y2-）2+4≥.取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)y=±.　　故

38、PQ

39、的最小值為-1.　　四、利用圓錐曲線的定義將折線段轉(zhuǎn)化為直線段來(lái)求距離的最值問(wèn)題　　例7.已知橢圓+=1內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓上求一點(diǎn)M，使得

40、MP

41、+2

42、MF

43、

44、取得最小值.　　分析：利用圓錐曲線的定義將折線段轉(zhuǎn)化為直線段來(lái)求最值.　　解析：a2=4，b2=3，c2=1即F（1，0）.由M向右準(zhǔn)線作垂線，垂足為N，則==.　　即

45、MN

46、=2

47、MF

48、.　　故

49、MP

50、+2

51、MF

52、=

53、MP

54、+

55、M