高二數(shù)學(xué)講義：微積分初步(較為系統(tǒng)的講義)

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1、微積分初步4【考綱要求】1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)y二c,y二兀，y=x2,y二丄，y二長(c為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).x4.能利用下面給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f{ax+b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和常用導(dǎo)數(shù)運算公式：(c)=0(C為常數(shù)).(xa)=axa~1(aeQ+).(sinx)=cosx.(cosx)=-sinx.(ev)=e'.(av)=axIna{a>0,且aH1)?(

2、Inxj=丄.(log“x)=—-—(a>0,且a北1)?xxlna常用的導(dǎo)數(shù)運算法則：法則1：[f(x)±g(x)]=fx)±g(x).法則2：[/U)?g(x)]=/(x)g(x)+/(x)+g(x)?法則3：[曇卜f⑴豊2二⑴gE(g⑴HO).5.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系?能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).6.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)?會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函

3、數(shù)一般不超過三次).7.會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題.&了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.9.了解微積分基本定理的含義.【備考建議】1?導(dǎo)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的知識?由于其應(yīng)用的廣泛性，為我們解決有關(guān)函數(shù)的問題提供了一般性的方法，運用導(dǎo)數(shù)還可以簡捷地解決一些實際問題?本章中導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)運算、函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值是重點知識，因此要熟練掌握函數(shù)的求導(dǎo)法則及公式，會判斷或討論函數(shù)的單調(diào)性，會函數(shù)的極值與最值,會用導(dǎo)數(shù)解決一些實際問題.2.定積分也是微積分的核心概念之一.通過定積分可以解決一些

4、簡單的幾何和物理問題，還要體會導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會導(dǎo)數(shù)與定積分的思想方法.3.在解決具體問題的過程中，要對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法和初等方法作比較，體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性.第01講：導(dǎo)數(shù)的概念及運算【基礎(chǔ)知識】1?平均變化率及瞬時變化率：函數(shù)/(兀)從州到勺的平均變化率為，函數(shù)/(兀)在X。處的瞬時變化率為?2.導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)/(朗在心處的導(dǎo)數(shù)就是/(兀)在x=x0處的,記作f(仏)或y即/'(X。)=lim型=lim/(勺+心)7(%)?心to心ztoAx3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x

5、)在點(x0,/(x0))處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=/(x)在點(％,/(%0))處的的斜率，相應(yīng)的切線的方程為?4.幾種常見函數(shù)的求導(dǎo)公式：(c)=?(x")=(6TGQ+).(sinx)=.(cosx)=.(c)—?(d)=?(Inx)—.(logrtx)—?(c為常數(shù))?[/(?g(x)]=2.導(dǎo)數(shù)的運算法則：[/(x)±^(x)]=的【規(guī)律總結(jié)】r1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是極限問題，是函數(shù)平均變化率的極限.2.求導(dǎo)數(shù)時，先化簡后求導(dǎo)是基本方法，這樣可以減少計算量.3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)過程就是對復(fù)合函數(shù)由外層逐層向

6、里求導(dǎo)?每次求導(dǎo)都針對最外層，直到求導(dǎo)最外層能直接使用基本公式為止.【例題精講】【例01】已知/(兀)在x=x0處可導(dǎo)，且/(x0)=2,則巴”?！?一門觀一幻2Ax【拓展1】已知/(兀)在2勺處可導(dǎo)，且f(x(J=5,求［im，(兀。+心)一/他一心)Axt()【拓展2】若函數(shù)y二/(勸在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且x0G(6/,b),則1曲/°()+⑵一/(兀―力【拓展3】已知函數(shù)/*(x)=-x2+x的圖象上一點(-1,-2)及鄰近一點(―1+心，-2+紂⑴)，則魚◎=Ar【拓展4】y=/(x)在兀=1處可導(dǎo)，X/

7、(l)=3,/(1)=2,求lim廣⑷-廣⑴◎I兀一1【拓展5】如圖所示，/(兀)的圖象是折線段ABC,A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,4)、(2,0)、(6,4),則/(/(0))=,請你計算lim?廣(1+山)7(1)=.(用數(shù)字作答)心T°心【例02】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=(2/—1)(3兀+1).⑵y=—.⑶y=3AeA-2⑷y=-^1-Vl-x?x+1【例03】設(shè)九（兀）=sin兀,/心）=幾（兀），Z（x）=f】（x），…，/?+1（兀）=幾（兀），朋M，WJf2QiQ（x）=【拓展】設(shè)函數(shù)/（兀）二

8、cos（Jir+°）（OV0V兀）.若/（x）+fx）是奇函數(shù)，則0=【例04］在高臺跳水運動中，rs時運動員相對水面高度是/?（r）=-v+2f+10（單位：m）則運動員在/=時的瞬時速度為?【拓展】一個物體的運動方程為$=1-/+八，其中s的單位是米，/的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時速度為?Y【例05】曲線y=」一在點（-1,-1）處