《微積分》講義

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1、《微積分》講義第一章極限一、函數(shù)極限的概念:f=A  要點(diǎn):⑴x為變量;⑵A為一常量。二、函數(shù)極限存在的充分必要條件:  f=Af=A,f=A  例:判定是否存在?三、極限的四則運(yùn)算法則 ?、牛絝±g ?、疲絝·g ?、牵健璯≠0 ?、萲·f=k·f四、例:⑴⑵⑶⑷五、兩個重要極限⑴=1=1⑵=e=e………型理論依據(jù):⑴兩邊夾法則:若f≤g≤h,且limf=limh=A,       則:limg=A⑵單調(diào)有界數(shù)列必有極限。例題:⑴=⑵=⑶=⑷=⑸=六、無窮小量及其比較1、無窮小量定義:在某個變化過程中趨向于零的變量。2、無窮大量定義:

2、在某個變化過程中絕對值無限增大的變量。3、高階無窮小,低階無窮小,同階無窮小,等價無窮小。4、定理:f=Af=A+a(a=0)七、函數(shù)的連續(xù)性1、定義:函數(shù)y=f在點(diǎn)處連續(xù)……在點(diǎn)處給自變量x一改變量    x:⑴x0時,y0。即:y=0⑵f=f⑶左連續(xù):f=f右連續(xù):f=f2、函數(shù)y=f在區(qū)間上連續(xù)。3、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):⑴若函數(shù)f和g都有在點(diǎn)處連續(xù),則:f±g、f·g、 ?。╣()≠0)在點(diǎn)處連續(xù)。⑵若函數(shù)u=j(luò)在點(diǎn)處連續(xù),而函數(shù)y=f在點(diǎn)=j(luò)()處連續(xù),  則復(fù)合函數(shù)f(j(x))在點(diǎn)處連續(xù)。例:= ?。健 。?、函數(shù)的間斷點(diǎn):?、趴?/p>

3、去間斷點(diǎn):f=A,但f不存在?!、铺S間斷點(diǎn):f=A,f=B,但A≠B?!、菬o窮間斷點(diǎn):函數(shù)在此區(qū)間上沒有定義。5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):若函數(shù)f在閉區(qū)間上連續(xù),則: ⑴f在閉區(qū)間上必有最大值和最小值?!、迫鬴與f異號,則方程f=0在內(nèi)至少有一根?!±鹤C明方程式-4+1=0在區(qū)間內(nèi)至少有一個根。第二章一元函數(shù)微分學(xué)一、導(dǎo)數(shù)1、函數(shù)y=f在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義:xy=f-f    =Af'=A……y',,。2、函數(shù)y=f在區(qū)間上可導(dǎo)的定義:f',y',,。3、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: ⑴=0?、疲絥· ⑶=,= ⑷=·lnɑ,= ⑸=cosx

4、,=-sinx  ?。絰,=-  ?。絪ecx·tanx,=-cscx·cotx?、剩剑  。剑?、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算:?、?、四則運(yùn)算法則:  ?。健馈  。健(x)+f(x)·  ?。嚼呵笙铝泻瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)  y=2-5+3x-7  f(x)=+4cosx-sin  y=?、?、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:  yu,uv,vw,wxyx  '='''' 例:y=lntanx   y=ln   y=arcsin ⑶、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則:把y看成是x的復(fù)合函數(shù),即遇到含有y的   式子,先對y求導(dǎo),然后y再對x求導(dǎo)?!±?:設(shè)方程xy-+=0確的隱函數(shù)y=y(tǒng)

5、(x),求; 例2、求方程式+2y-x-3=0所確定的隱函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù);5、導(dǎo)數(shù)的幾何意義:曲線的切線斜率。 例1:問曲線y=上哪點(diǎn)處的切線與直線y=3x-1平行? 例2:求曲線+=5在點(diǎn)處的切線方程。6、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系:  可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo)。7、高階導(dǎo)數(shù):y'',y''',,…  例:求y=sin5x的三階導(dǎo)數(shù)。二、微分1、微分的概念:df(x)=f'(x)·dx…df(x)=f'(x)·x 例:求函數(shù)y=當(dāng)x=2,x=0.02時的微分。2、微分的幾何意義:y的近似值。3、基本微分法則:⑴d(u±v)=du

6、±dv⑵d(u·v)=u·dv+v·du⑶d(ku)=k·d(u)⑷d=例1、y=sinx,求dy;例2、y=ln,求dy;4、微分在近似計算中的應(yīng)用 ydyf(+x)-f()=f'()·x  f(+x)=f'()·x+f() 例:求的近似值。三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、中值定理⑴羅爾定理:⑵拉格朗日定理:⑶柯西定理:2、洛必達(dá)法則:求末定式“”“”型極限  lim=lim⑴基本型:,  ?。骸  。孩破渌┒ㄐ停骸?·∞”、“∞-∞”、“”、“”、“”  “0·∞”型=或=  x·lnx  “∞-∞”型:通分 ?。簩?shù)式……  : ?。骸 。喝?、

7、函數(shù)的單調(diào)性、極值與凹凸性1、單調(diào)性:  2、極值: 可能的極值點(diǎn)3、凹凸性:  例求函數(shù)y=3x-的極值、增減區(qū)間、凹凸區(qū)間。第三章一元函數(shù)積分學(xué)一、不定積分的概念及簡單運(yùn)算  不定積分——求原函數(shù)1、原函數(shù)的定義:設(shè)f、F在區(qū)間I內(nèi)有定義,且:F'=f,       則稱F為f在區(qū)間I內(nèi)的一個原函數(shù)   如:=是的一個原函數(shù)。    ?。絚osxsinx是cosx的一個原函數(shù)?!  ∮^察:=     ?。健     。健 〗Y(jié)論:若f有原函數(shù),它的原函數(shù)有無窮多個,它們之間相差一 個常量。即:若F為f在區(qū)間I內(nèi)的一個原函數(shù),則F+C均為

8、 f在區(qū)間I內(nèi)的原函數(shù)。2、不定積分定義:f在區(qū)間I內(nèi)的所有原函數(shù)稱為f的不定積分;        記為:fdx 即:若F為f在區(qū)間I內(nèi)的一個原函數(shù),則:fdx=F+C; 例:dx=+C;co

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