江蘇卷第19 題的別解

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1、·20·中學(xué)數(shù)學(xué)月刊2008年第8期不等式,得[102+(10-x)2][(#3)2+12]≥當(dāng)且僅當(dāng)B,O,Q,P1四點共線時,等號2成立.這時因為△AOQ是正三角形,所以[10#3+(10-x)].∠AOB=∠AQP1=∠120°.1010-x當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=10-#31因為∠AQP1=∠AOP,所以∠AOP=∠120°,從而∠BOP=∠120°.至此費爾馬問10#3時等號成立,3題得到解決.對于本題,因為△ABP是等腰2三角形,所以由∠AOP=∠120°立即得到點P所以2#100+(10-x)≥1

2、0#3+(10-的位置.x),點評本題是一道探究與開放性的綜合2即y=x+2#100+(10-x)≥10(#3+1).試題,“貼近生活,背景公平,難度適中”,是在10#3所以當(dāng)x=10-時,y=x+新舊知識的交匯處設(shè)計命題的,考查學(xué)生的3數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力和解決實際問22#100+(10-x)取最小值10(#3+1).題的能力.具有生活的實際意義,學(xué)生可以讀其實,本題命題者取10-PO為自變量更懂題意,很容易下手.本題的特點是:第(2)題加合適.需要學(xué)生自己來選擇函數(shù)表達式,再選擇恰本題的背景是著

3、名的費爾馬問題:已知當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行求解,需要他們有分析判斷的△ABP是銳角三角形,試求一點O使OA+能力.應(yīng)該說本題完全符合考試說明和課標(biāo)OB+OP為最小.要求.本文給出了10種方法,涉及到了導(dǎo)數(shù)解設(shè)O是法(原解法,別解7),三角函數(shù)的有界性(別△ABP內(nèi)任意一點,解2),數(shù)形結(jié)合法(別解2),引參法(別解將△AOP繞點A旋9),配方法(別解3),判別式法(別解4,別解轉(zhuǎn)60°,得△AQP1.P18),基本不等式法(別解5,別解6,別解10)是定點,則△AOQ是圖5等.本題真正體現(xiàn)了“入口淺,寓意深”.正三

4、角形,所以O(shè)A=OQ,又OP=QP1,所以O(shè)A+OB+OP=OB+OQ+QP1≥BP1.江蘇卷第19題的別解沙敏林(江蘇省吳江市教師進修學(xué)校215200)彭興俊(江蘇省大豐高級中學(xué)224100)沈家書馬宇(江蘇省徐州實驗中學(xué)221009)第19題(1)設(shè)a1,a2,?,an是各項均存在一個各項及公差均不為零的等差數(shù)列不為零的n(n≥4)項等差數(shù)列,且公差d≠0.b1,b2,?,bn,其中任意三項(按原來順序)都若將此數(shù)列刪去某一項后得到的數(shù)列(按原不能組成等比數(shù)列.來順序)是等比數(shù)列,分析(1)的立足點是

5、:如果一個等差數(shù)a1列的連續(xù)三項成等比數(shù)列,那么這個數(shù)列的(!)當(dāng)n=4時,求的數(shù)值;d公差為零(常數(shù)數(shù)列).(")求n的所有可能值.證明設(shè)一個等差數(shù)列的連續(xù)三項分別(2)求證:對于給定的正整數(shù)n(n≥4),2008年第8期中學(xué)數(shù)學(xué)月刊·21·為ai-d,ai,ai+d,若這三項成等比數(shù)列,則存在某一項與公差的比為有理數(shù).反之,如果222ai=(ai-d)(ai+d)=ai-d!d=0.等差數(shù)列中任意一項與公差的比都是無理(!)由題意及上述證明知:若一個四項數(shù),則其中任意三項(按原來的順序)都不能的等差數(shù)

6、列去掉一項成等比,只有可能去掉組成等比數(shù)列.例如,取d′=1,b1=%2,那么,第二項或第三項.若去掉第二項,則有(a1+n項數(shù)列%2,%2+1,?,%2+n-1滿足要2d)2=a(1a1+3d)!a1=-4;若去掉第三項,則有求.d處理方式2考慮到1≤i≤n-2,1≤m<(a1+d)2=a(1a1+3d)!a1=1.222dk≤n-i,則有m<(n-i)

7、.因數(shù)列中如果存在三項組成等比數(shù)列,則一定此,符合題意的n≤5,從而只要討論n=5的2存在某一項與公差的比小于n.反之,如果等情況.此時,要不存在連續(xù)的三項,只有去掉2差數(shù)列中任意一項與公差的比都大于n,則第三項,從而有a(1a1+4d)=(a1-d)(a1+3d)!其中任意三項(按原來的順序)都不能組成等d=0,不合題意.故n所有的可能值只有4.2比數(shù)列.例如,取d′=1,b1=n,那么,n項數(shù)列(2)解法1若一個等差數(shù)列的任意三222n,n+1,?,n+n-1滿足要求.項ak,ak+id,ak+jd成

8、等比數(shù)列(1≤i≤j≤n),解法3由考試院提供的參考答案中推2d2則有(ak+id)=a(kak+jd)!j=2i+i,因為i,jak理得:都是正整數(shù),所以,對任意的n(n≥4),不妨設(shè)i≤m1≤m2≤m3≤n-1(m1,m2,m3∈221212N),有(b1+m2d′)=(b1+m1d′)(b1+m3d′),公差取a1=2n,d=1,則2i<2i+i≤2i+i=2i+aka1d′≠0,b1≠0,?2i<2i+1,從而j=2i