循環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與切換鎮(zhèn)定

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1、東北大學博士學位論文摘要循環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與切換鎮(zhèn)定摘要循環(huán)系統(tǒng)是一類具有廣泛代表性的系統(tǒng)。循環(huán)結構決定了這類系統(tǒng)的許多特殊性能。同時，循環(huán)系統(tǒng)需要特殊的分析和設計方法。研究循環(huán)系統(tǒng)，不僅能夠揭示循環(huán)結構對系統(tǒng)動態(tài)行為的影響，進而有效地利用循環(huán)結構有重要意義，而且對于組合系統(tǒng)、大系統(tǒng)的分析和設計也將產(chǎn)生一定的效果。因此，循環(huán)系統(tǒng)的研究受到了高度重視。本文研究以“超循環(huán)”系統(tǒng)為原型擴展而來的循環(huán)系統(tǒng)。以Lyapunov穩(wěn)定性理論為主要工具重點研究循環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和基于切換機制的鎮(zhèn)定問題。論文主要內(nèi)容概括如下：首先

2、介紹由生命科學和生物學中“超循環(huán)”系統(tǒng)的內(nèi)部結構擴展為循環(huán)系統(tǒng)的過程，以及循環(huán)系統(tǒng)的研究進展，論述了切換系統(tǒng)的發(fā)展史以及研究狀況。因為循環(huán)系統(tǒng)與循環(huán)矩陣有著的特殊關系，所以文中總結歸納了循環(huán)矩陣的結構性質(zhì)以及與全文研究有關的基礎知識。這里特別強調(diào)：“循環(huán)矩陣存在與循環(huán)元素無關的可逆陣。使其相似于對角陣”和“循環(huán)矩陣存在與循環(huán)元素無關的李雅譜諾夫方程的解”。然后，給出各類循環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述。線性循環(huán)系統(tǒng)作為循環(huán)系統(tǒng)中的最簡單的模型，本文討論了它們的穩(wěn)定性與魯棒穩(wěn)定域，這種系統(tǒng)包括：線性時變循環(huán)系統(tǒng)；線性時不

3、變循環(huán)系統(tǒng)：線性不確定循環(huán)系統(tǒng)。利用循環(huán)矩陣的結構特性，找到一個狀態(tài)變換，并且這個變換與循環(huán)元素無關，可將線性循環(huán)系統(tǒng)按狀態(tài)解耦。從而得到這些線性循環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件和線性不確定循環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定域的確定方法。在提出切換線性循環(huán)系統(tǒng)模型，包括：切換線性時變循環(huán)系統(tǒng)和切換線性時不變循環(huán)系統(tǒng)后，本文繼續(xù)研究這兩類切換系統(tǒng)在任意切換律下漸近穩(wěn)定的條件和在某個切換律下切換鎮(zhèn)定的條件。利用循環(huán)矩陣存在與循環(huán)元素無關的李雅普諾夫方程的解，導出這兩種切換線性循環(huán)系統(tǒng)在任意切換律下漸近穩(wěn)定的充要條件是每個子系統(tǒng)都是漸近穩(wěn)

4、定，這顯然與一般的切換系統(tǒng)有本質(zhì)的區(qū)別。當這個東北大學博士學位論文摘要條件不滿足時，切換線性循環(huán)系統(tǒng)可切換鎮(zhèn)定的條件是一個代數(shù)不等式存在非負解，這顯然比一般的凸組合理論簡單的多。非線性循環(huán)系統(tǒng)是循環(huán)系統(tǒng)的最一般模型形式，它的線性部分或線性化的結果正是第三章所研究的線性時不變循環(huán)系統(tǒng)，從而得到了非線性循環(huán)系統(tǒng)局部漸近穩(wěn)定的充要條件。在循環(huán)系統(tǒng)(線性的或非線性的)中，“循環(huán)”不僅僅反映在系統(tǒng)本身的結構上，同時在它的解中也呈現(xiàn)出“循環(huán)”的特征。“循環(huán)解”是循環(huán)系統(tǒng)所獨有的解的形式，本章將給出的“循環(huán)解”概念，并結合

5、幾何圖形，解釋從一個解向量形成循環(huán)解的過程。特殊時，如果某個循環(huán)解中只含有一個解向量，本章給出這個解向量的求法。二次循環(huán)系統(tǒng)和切換二次循環(huán)系統(tǒng)作為本文的重要模型是因為許多文獻所描述的“超循環(huán)”系統(tǒng)正式二次系統(tǒng)。在二次循環(huán)系統(tǒng)的線性部分是漸近穩(wěn)定的條件下，給出二次循環(huán)系統(tǒng)一個吸引域的求法。并且，通過例子說明：在用“球形”區(qū)域表示的吸引域中，文中所求得的吸引域是最大的。再利用這個結果進一步求得：切換二次循環(huán)系統(tǒng)在任意切換律下的一個吸引域、在某個切換律下的一個鎮(zhèn)定吸引域以及這個切換律的設計方法。循環(huán)組合系統(tǒng)具有廣泛

6、的實際背景，本文將它擴展為切換循環(huán)組合系統(tǒng)。利用循環(huán)組合矩陣的結構性質(zhì)：“存在一個與循環(huán)元無關的組合矩陣，使循環(huán)組合矩陣相似于分塊對角陣”，為切換循環(huán)組合系統(tǒng)提供一個狀態(tài)變換，使該切換系統(tǒng)中的子系統(tǒng)同時狀態(tài)按塊解耦，從而達到簡化降階的目的，使穩(wěn)定性分析大為簡化。擬對稱組合系統(tǒng)和切換擬對稱組合系統(tǒng)是本文在對稱組合系統(tǒng)的基礎上所兩種新的系統(tǒng)模型。利用擬對稱組合矩陣的性質(zhì)找到一個狀態(tài)變換，將擬對稱組合系統(tǒng)變換成狀態(tài)按塊單向解耦的組合系統(tǒng)。同時，這種變換也可應用于切換擬對稱組合系統(tǒng)，得到狀態(tài)按塊單向解耦的切換組合系統(tǒng)

7、。根據(jù)此結果給出了切換擬對稱組合系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件。文章的最后對全文做了系統(tǒng)的總結，并提出下一步的研究方向。關鍵詞：循環(huán)系統(tǒng)，切換系統(tǒng)，組合系統(tǒng)，循環(huán)矩陣，超循環(huán)，循環(huán)解，切換律，切換鎮(zhèn)定，凸組合，穩(wěn)定性，吸引域，魯棒穩(wěn)定域，不確定系統(tǒng)，組合矩陣。東北大學博士學位論文ABSTRACTStabilityandSwitching—basedStabilizationforCirculantSystemsAbstractCirculantsystemsareaclassofsystemspossessinggrea

8、tsignificanceinpractice．nlecircuJantstructureofthisclassofsystemsdeterminesitsmanycharacteristics．Circulantsystemsneedtobegivenspecialanalysisanddesign．nlestudyofcirculantsystemsnotonlyshowstheimpactof