jacobi 迭代法與gauss-seidel迭代法算法比較

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1、標準實用Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法算法比較文案大全標準實用目錄1引言11.1Jacobi迭代法21.2Gauss-Seidel迭代法21.3逐次超松弛（SOR）迭代法32算法分析33結(jié)論54附錄程序5參考文獻8文案大全標準實用Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法比較1引言解線性方程組的方法分為直接法和迭代法，直接法是在沒有舍入誤差的假設(shè)下，能在預(yù)定的運算次數(shù)內(nèi)求得精確解，而迭代法是構(gòu)造一定的遞推格式，產(chǎn)生逼近精確值的序列。這兩種方法各有優(yōu)缺點，直接法普遍適用，但

2、要求計算機有較大的存儲量，迭代法要求的存儲量較小，但必須在收斂性得以保證的情況下才能使用。對于高階方程組，如一些偏微分方程數(shù)值求解中出現(xiàn)的方程組，采用直接法計算代價比較高，迭代法則簡單又實用，所以比較受工程人員青睞。迭代法求解方程組就是構(gòu)造一個無限的向量序列，使它的極限是方程組的解向量。即使計算機過程是精確的，迭代法也不能通過有限次算術(shù)運算求得方程組的精確解，而只能逐步逼近它。因此迭代法存在收斂性與精度控制的問題。迭代法是常用于求解大型稀疏線性方程組（系數(shù)矩陣階數(shù)較高且0元素較多），特別是某些偏微分

3、方程離散化后得到的大型稀疏方程組的重要方法。設(shè)n元線性微分方程組(1)的系數(shù)矩陣A非奇異，右端向量,因而方程組有唯一的非零解向量。而對于這種線性方程組的近似解，前輩們發(fā)展研究了許多種有效的方法，有Jacobi迭代法、Gauss—Seidel迭代法，逐次超松弛迭代法（SOR法），這幾種迭代方法均屬一階線性定常迭代法，即若系數(shù)矩陣A分解成兩個矩陣N和P的差，即；其中N為可逆矩陣，線性方程組(1)化為：可得到迭代方法的一般公式：（2）其中：，，對任取一向量作為方程組的初始近似解，按遞推公式產(chǎn)生一個向量序列

4、，，...，，...，當(dāng)足夠大時，此序列就可以作為線性方程組的近似解。一階定常迭代法收斂的充分必要條件是:迭代矩陣G的譜半徑小于1，即；又因為對于任何矩陣范數(shù)恒有‖G‖，故又可得到收斂的一個充分條件為：‖G‖<1。文案大全標準實用1.1Jacobi迭代法若D為A的對角素構(gòu)成的對角矩陣，且對角線元素全不為零?？梢詫⑾禂?shù)矩陣A分解為：其中，D為系數(shù)矩陣A的對角元素構(gòu)成的對角陣，L為嚴格下三角陣，U為嚴格上三角陣。在迭代法一般形式中，取，，形成新的迭代公式，其中任取，則Jacobi迭代的迭代公式為：(3)

5、式中:;,稱為Jacobi迭代矩陣.其計算公式為:，（4）如果迭代矩陣的譜半徑，則對于任意迭代初值，Jacobi迭代法收斂；如果‖GJ‖<1，則Jacobi迭代法收斂；如果方程組的系數(shù)矩陣是主對角線按行或按列嚴格占優(yōu)陣，則用Jacobi迭代法求解線性方程組必收斂。1.2Gauss-Seidel迭代法從Jacobi迭代可以看出，用計算時，需要同時保留這兩個向量。事實上如果每次獲得的分量能夠在計算下一個分量時及時更新的話，既節(jié)省了存儲單元，又能使迭代加速，這就是Gauss-Seidel方法。對于非奇異方

6、程組，若D為A的對角素構(gòu)成的對角矩陣，且對角線元素全不為零；系數(shù)矩陣A的一個分解：(5)在迭代法一般形式中，取，，形成新的迭代公式，其中任取，則Gauss-Seidel迭代法的迭代公式為:（6）上式中:是其右端常數(shù)項；為Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣，其計算公式為：，（7）若GS法收斂的充分必要條件是；如果‖GG‖<1,則GS法收斂；如果線性方程組的系數(shù)矩陣A為主對角線按行或按列嚴格占優(yōu)陣，或者為正定矩陣，則對于任意初值用GS法求解必收斂。文案大全標準實用1.3逐次超松弛（SOR）迭代法一

7、般而言，因Jacobi迭代收斂速度不夠快，所以在工程中用的并不是太多。并且在Jacobi迭代收斂速度很慢的情況下，通常Gauss-Seidel迭代法也不會太快?？梢詫auss-Seidel迭代公式做適度修改，提高收斂速度，這就是逐次超松弛迭代法。設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣A滿足，?？蓪⑾禂?shù)矩陣A分解為(8)其中實常數(shù)>0稱為松弛因子。在迭代法一般形式中，取,得到迭代公式，（9）其中任取。這就是逐次超松弛迭代法，當(dāng)=1時該式就是高斯法。SOR法迭代矩陣是整理后得到SOR迭代法的實際計算公式為：；（10）

8、SOR方法收斂的充分必要條件是；如果‖GS‖<1，則SOR方法收斂；SOR方法收斂的必要條件是；如果方程組的系數(shù)矩陣A是主對角線按行或者列嚴格占優(yōu)陣，則用的SOR方法求解必收斂；如果方程組的系數(shù)矩陣是正定矩陣，則用的SOR方法求解必收斂。2算法分析例1用雅可比迭代法求解下列方程組解將方程組按雅可比方法寫成文案大全標準實用取初始值按迭代公式進行迭代，其計算結(jié)果如表1所示。表10123456700.720.9711.0571.08531.09511.0983…00.831