直線系、圓系方程

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1、教學(xué)設(shè)計方案XueDaPPTSLearningCenter直線系、圓系方程1、過定點直線系方程在解題中的應(yīng)用過定點（，）的直線系方程：（A,B不同時為0）.例1求過點圓的切線的方程．分析：本題是過定點直線方程問題，可用定點直線系法.　　解析：設(shè)所求直線的方程為（其中不全為零），　　則整理有，　∵直線l與圓相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑1，故，　　整理，得，即（這時），或．　　故所求直線l的方程為或．點評：對求過定點（，）的直線方程問題，常用過定點直線法，即設(shè)直線方程為:，注意的此方程表示的是過點的所有直線（即直線系），應(yīng)用這種直

2、線方程可以不受直線的斜率、截距等因素的限制，在實際解答問題時可以避免分類討論，有效地防止解題出現(xiàn)漏解或錯解的現(xiàn)象．練習(xí)：　過點作圓的切線l，求切線l的方程．　　解：設(shè)所求直線l的方程為（其中不全為零），　　則整理有，　∵直線l與圓相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑1，故，　　整理，得，即（這時），或．　　故所求直線l的方程為或．2、過兩直線交點的直線系方程在解題中的應(yīng)用過直線：（不同時為0）與：（不同時為0）交點的直線系方程為：（，為參數(shù)）.教學(xué)設(shè)計方案XueDaPPTSLearningCenter例2求過直線：與直線：的交點且在兩

3、坐標軸上截距相等的直線方程.分析：本題是過兩直線交點的直線系問題，可用過交點直線系求解.解析：設(shè)所求直線方程為：，當直線過原點時，則=0，則=－1，此時所求直線方程為：；當所求直線不過原點時，令=0，解得=，令=0，解得=，由題意得，=，解得，此時，所求直線方程為：.綜上所述，所求直線方程為：或.3、求直線系方程過定點問題例3證明：直線(是參數(shù)且∈R)過定點，并求出定點坐標.分析：本題是證明直線系過定點問題，可用恒等式法和特殊直線法.解析：（恒等式法）直線方程化為:,∵∈R,∴，解得，，，∴直線(是參數(shù)且∈R)過定點（1,1）.（特

4、殊直線法）取=0，=1得，，，聯(lián)立解得，，，將（1,1）代入檢驗滿足方程，∴直線(是參數(shù)且∈R)過定點（1,1）.點評：對證明直線系過定點問題，常用方法有恒等式法和特殊直線法，恒等式法就是將直線方程化為關(guān)于參數(shù)的恒等式形式，利用參數(shù)屬于R，則恒等式個系數(shù)為0，列出關(guān)于的方程組，通過解方程組，求出定點坐標;特殊直線法，去兩個特殊參數(shù)值，得到兩條特殊直線，通過接著兩條特殊直線的交點坐標，并代入原直線系方程檢驗，即得定點.一、常見的圓系方程有如下幾種：教學(xué)設(shè)計方案XueDaPPTSLearningCenter1、以為圓心的同心圓系方程：　

5、與圓＋＋＋Ｆ＝０同心的圓系方程為：＋＋＋＝０2、過直線＋＋Ｃ＝０與圓＋＋＋Ｆ＝０交點的圓系方程為：＋＋＋Ｆ＋（＋＋Ｃ）＝０（Ｒ）3、過兩圓:＋＝0，:＋＝０交點的圓系方程為：＋＋（＋）＝0（≠-１，此圓系不含:＋＝０）特別地，當＝－１時，上述方程為根軸方程．兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程．注：為了避免利用上述圓系方程時討論圓，可等價轉(zhuǎn)化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程:二、圓系方程在解題中的應(yīng)用：1、利用圓系方程求圓的方程：例求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點，并且圓

6、心在直線x-y-4=0上的圓的方程。例１、求經(jīng)過兩圓＋3－－2＝０和＋2＋＋１＝０交點和坐標原點的圓的方程．解：方法3：由題可設(shè)所求圓的方程為：　?。ǎ?－－2）＋（＋2＋＋１）＝０∵?。?，0）在所求的圓上，∴　有－2＋＝０．　從而＝２故所求的圓的方程為：即?。?＋＝０。練習(xí)：求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點,并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.1解:構(gòu)造方程x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-(4+28λ)=0此方程的曲線

7、是過已知兩圓交點的圓,且圓心為當該圓心在直線x-y-4=0上時,即∴所求圓方程為x2+y2-x+7y-32=0教學(xué)設(shè)計方案XueDaPPTSLearningCenter2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程：例2（1）：求過兩圓和的交點且面積最小的圓的方程。　　分析：本題若先聯(lián)立方程求交點，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運算量較大。自然選用過兩圓交點的圓系方程簡便易行。為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉(zhuǎn)化為求過兩圓公共弦及圓交點且面積最小的圓的問題。解：圓和的公共弦方程為過直線與圓的交點的

8、圓系方程為，即依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則代回圓系方程得所求圓方程例２（2）;求經(jīng)過直線：2＋＋4＝０與圓Ｃ：＋2－4＋1＝０的交點且面積最小的圓的方程．