直線系和圓系公式及其應(yīng)用

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1、直線系和圓系相關(guān)公式推導(dǎo)和例題如何推導(dǎo)出過兩直線交點的直線系方程假設(shè)直線1與2的交點為（x1,x2）則直線1可化為（x-x1）/B1=(y-y1)/A1,直線2可化為：（x-x1）/B2=(y-y1)/A2那么B1/(x-x1)=A1/(y-y1),.......1B2/(x-x1)=A2/(y-y1).......22式左右兩邊各乘以N得NB2/(x-x1)=NA2/(y-y1).......32式+3式（左右兩邊），得B1/(x-x1)+NB2/(x-x1）=A1/(y-y1)+NA2/(y-y1)，整

2、理得(B1+NB2)/(x-x1）=(A1+NA2)/(y-y1),整理得：A1x+B1y+C1+N（A2X+B2Y+C2）=0有誰能推導(dǎo)過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F的交點的圓系方程?x2+y2+Dx+Ey+F+m(ax+by+c)=0設(shè)P(x0,,y0,)是直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的的任意一個交點則Ax0+By0+C=0與圓x02+y02+Dx0+Ey0+F=0從而x02+y02+Dx0+Ey0+F+m(Ax0+By0+C)=0即p是方程Cx02+

3、y02+Dx0+Ey0+F+m(Ax0+By0+C)=0表示的曲線C上的點，由于任意一個交點在曲線C上，所以，所有交點都在曲線C上即曲線C經(jīng)過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的所有交點，或經(jīng)過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點的圓系方程為：x2+y2+Dx+Ey+F+m(ax+by+c)=0解：點P（x1,y1）圓心為O（a,b）則（x1-a）2+(y1-b)2=r2直線OP的斜率為：k（OP）=(y1-b)/（x1-a）切線的斜率為：k=1/k（OP)=

4、（x1-a）/(y1-b)切線方程為：y-y1=(x1-a）/(y1-b)×(x-x1)(y-y1)(y1-b)-(x1-a）(x-x1)=0[(y-b)+(b-y1)](y1-b)-[(x-a)+(a-x1)](x1-a)=0(y-b)(y1-b)-(y1-b)2+(x-a)(x1-a)-（x1-a）2=0(y-b)(y1-b)+(x-a)(x1-a)=（x1-a）2+(y1-b)2即：(y-b)(y1-b)+(x-a)(x1-a)=r2故證過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上點P(x0,y0)的切線方

5、程為(x0-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r2過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0上一點P(x0,,y0,)的切線方程為x0x+y0y+D[(X+X0)/2]+E[(Y0+Y)]+F=0過圓外一點P(x0,y0)圓的切線切線長為√[(x0-a)2+(y0-y)2-r2}或√（x02+y02+Dx0+Ey0+F)問題補充：過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0上一點P(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y+D[(X+X0)/2]+E[(Y0+Y)/2]+F=0過兩相交圓得交點的直線方程公式證明過兩圓交點

6、的圓系方程已知圓A：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓B：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0……①,當(dāng)λ≠-1時，方程①表示過圓A與圓B的交點的圓系的方程，當(dāng)λ=0時，表示圓A，但不能表示圓B；當(dāng)λ=-1時，若圓A與圓B相交，方程①表示圓A與圓B的公共弦所在的直線方程，當(dāng)圓A與圓B相切時，方程①表示圓A與圓B的公切線方程，當(dāng)兩圓相離時，方程①表示與兩圓連心線垂直的方程，在解圓的有關(guān)問題，常常用到這一結(jié)論，可以起到事半

7、功倍的效果。