離散數(shù)學(xué)ppt電子教案第08章函數(shù)課件

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1、離散數(shù)學(xué)02九月2021第三篇二元關(guān)系第8章函數(shù)8.0內(nèi)容提要集合的概念1集合的表示方法2函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算3函數(shù)的逆運(yùn)算4無限集合5函數(shù)的概念1特殊函數(shù)2函數(shù)的運(yùn)算定理58.1本章學(xué)習(xí)要求重點(diǎn)掌握一般掌握了解11函數(shù)的概念2單射、滿射和雙射函數(shù)的概念3函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算和逆運(yùn)算31置換的計(jì)算21單射、滿射和雙射函數(shù)的證明2置換的定義8.2函數(shù)函數(shù)也叫映射、變換或?qū)?yīng)。函數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念。這里將高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的概念推廣，將函數(shù)看作是一種特殊的二元關(guān)系。函數(shù)的概念在日常生活和計(jì)算機(jī)科學(xué)中非常重要。如各種高級程

2、序語言中使用了大量的函數(shù)。實(shí)際上，計(jì)算機(jī)的任何輸出都可看成是某些輸入的函數(shù)。8.2.1函數(shù)的定義定義8.2.1設(shè)f是集合A到B的關(guān)系，如果對每個(gè)x∈A，都存在惟一的y∈B，使得∈f，則稱關(guān)系f為A到B的函數(shù)(或映射、變換)，記為f:A→B。A為函數(shù)f的定義域，記為domf=A；f(A)為函數(shù)f的值域，記為ranf。函數(shù)定義的示意圖見圖8.2.1。AxBf(x)圖8.2.1特殊二元關(guān)系結(jié)論(1)∈f?y=f(x)；(2)∈f∧∈f?y=z；(3)

3、f

4、=

5、A

6、；(4)

7、f(x)表示一個(gè)變值，f代表一個(gè)集合，因此f≠f(x).(5)如果關(guān)系f具備下列兩種情況之一，那么f就不是函數(shù)：存在元素a∈A，在B中沒有象；存在元素a∈A，有兩個(gè)及兩個(gè)以上的象。例8.2.1設(shè)A={1,2,3,4},B={a,b,c,d}，試判斷下列關(guān)系哪些是函數(shù)。如果是函數(shù)，請寫出它的值域。（1）f1={<1,a>,<2,a>,<3,d>,<4,c>}；（2）f2={<1,a>,<2,a>,<2,d>,<4,c>}；（3）f3={<1,a>,<2,b>,<3,d>,<4,c>}；（4）f4={<2,b

8、>,<3,d>,<4,c>}。答案:ranf1={a,c,d}；ranf3={a,b,c,d}；例8.2.3設(shè)A={a,b},B={1,2}，請分別寫出A到B的不同關(guān)系和不同函數(shù)。解因?yàn)?/p>

9、A

10、=2,

11、B

12、=2，所以

13、A×B

14、=

15、A

16、×

17、B

18、=4，即A×B={,,,}，此時(shí)從A到B的不同的關(guān)系有24=16個(gè)(略)。從A到B的不同的函數(shù)僅有2*2=4個(gè)。分別如下：f1={,},f2={,},f3={,},f4=

19、{,}。一般地,從A到B的不同的函數(shù)有

20、B

21、

22、A

23、個(gè)。練習(xí):P23611.下列關(guān)系中哪些能構(gòu)成函數(shù)?(1){

24、(x,y?N)?(x+y=10)};(2){

25、(x,y?R)?(y=x2)};(3){

26、(x,y?R)?(y2=x)}.答:(2)能構(gòu)成函數(shù).定義8.2.2設(shè)f是從A到B的函數(shù)，對任意x1,x2∈A，如果x1≠x2，有f(x1)≠f(x2)，則稱f為從A到B的單射（不同的x對應(yīng)不同的y)；如果ranf＝B，則稱f為從A到B的滿射；若f是滿射且是單射

27、，則稱f為從A到B的雙射。若A＝B，則稱f為A上的函數(shù)；當(dāng)A上的函數(shù)f是雙射時(shí)，稱f為一個(gè)變換。8.2.2函數(shù)的類型將定義8.2.2的描述數(shù)學(xué)化為（1）f:A→B是單射當(dāng)且僅當(dāng)對x1,x2∈A，若x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；（2）f:A→B是滿射當(dāng)且僅當(dāng)對y∈B，一定存在x∈B，使得f(x)=y；（3）f:A→B是雙射當(dāng)且僅當(dāng)f既是單射，又是滿射；（4）f:A→B是變換當(dāng)且僅當(dāng)f是雙射且A=B。例8.2.4確定下列函數(shù)的類型。（1）設(shè)A={1,2,3,4,5},B={a,b,c,d}。f:A→B

28、定義為：f={<1,a>,<2,c>,<3,b>,<4,a>,<5,d>}；（2）設(shè)A={1,2,3},B={a,b,c,d}。f:A→B定義為：f={<1,a>,<2,c>,<3,b>}；（3）設(shè)A={1,2,3},B={1,2,3}。f:A→B定義為:f={<1,2>,<2,3>,<3,1>}；設(shè)A，B為有限集合，f是從A到B的函數(shù)，則：f是單射的必要條件為

29、A

30、≤

31、B

32、；f是滿射的必要條件為

33、B

34、≤

35、A

36、；f是雙射的必要條件為

37、A

38、＝

39、B

40、。結(jié)論AB定理8.2.1設(shè)A,B是有限集合,且

41、A

42、=

43、

44、B

45、.若f是A到B的函數(shù),則f是單射當(dāng)且僅當(dāng)f是滿射。證明必要性(?)：設(shè)f是單射,則f是A到f(A)的雙射,因此

46、A

47、=

48、f(A)

49、。由

50、f(A)

51、=

52、B

53、且f(A)?B,得f(A)=B,故f是A到B的滿射。充分性(?)：設(shè)f是滿射。假設(shè)f不是單射,則存在x1,x2∈A,x1≠x2,有f(x1)=f(x2).由于f是A到B的滿射,所以f也是A-{x1}到B的滿射,故

54、A-{x1}

55、≥

56、B

57、，即

58、A

59、-1≥

60、B

61、，這與

62、A

63、=