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1、離散數(shù)學(xué)西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院計(jì)算機(jī)系1離散數(shù)學(xué)第三章函數(shù)§1.函數(shù)的基本概念§2.函數(shù)的復(fù)合2離散數(shù)學(xué)第三章函數(shù)（function）§1.函數(shù)基本概念定義1.函數(shù)(映射(map)、變換(transformation))函數(shù)是后者唯一的關(guān)系。即f是由X到Y(jié)的函數(shù)，記為f:X?Y?f?X?Y?(?x?X)(?y?Y)(?z?Y)((x,y)?f?(x,z)?f?y=z)。注：函數(shù)概念主要是限制了關(guān)系概念中的一對(duì)多；但允許多對(duì)一；fYf(a)aX函數(shù)的圖象3離散數(shù)學(xué)ba1a2XY函數(shù)允許的情
2、況：多對(duì)一fab1b2f函數(shù)不允許的情況：一對(duì)多XY4離散數(shù)學(xué)D(f)R(f)XYf函數(shù)的定義域和值域5離散數(shù)學(xué)●與函數(shù)概念關(guān)聯(lián)著的一些概念(1)若(x,y)?f，則函數(shù)慣用的記法是y=f(x)；稱x為自變量，稱y為因變量。(2)此定義可容納多值函數(shù)f:X?Y，f(x)=y1,y2,?,yk其修改為f:X?2Y，f(x)={y1,y2,?,yk}?2Y。(3)定義域(domain)：稱f的前域?yàn)閒的定義域。即D(f)={x:x?X?(?y?Y)((x,y)?f)}={x:x?X?(?y?Y)(y
3、=f(x))}(4)值域(range)：稱f的后域?yàn)閒的值域。即R(f)={y:y?Y?(?x?X)((x,y)?f)}={y:y?Y?(?x?X)(y=f(x))}。6離散數(shù)學(xué)(5)象(image)：子集A?X的象定義為f(A)={y:y?Y?(?x?A)((x,y)?f)}={y:y?Y?(?x?A)(y=f(x))}。fXY集合的象AD(f)f(A)R(f)7離散數(shù)學(xué)(6)逆象(inverseimage)：子集B?Y的逆象定義為f-1(B)={x:x?X?(?y?B)((x,y)?f)}=
4、{x:x?X?(?y?B)(y=f(x))}；特別地，單元素y?Y的逆象是f-1({y})={x:x?X?(x,y)?f}={x:x?X?f(x)=y}。XYf-1(B)集合的逆象BD(f)R(f)f8離散數(shù)學(xué)(7)全函數(shù)（fullfunction）：處處有定義的函數(shù)。即D(f)=X（或者f-1(Y)=X）今后，在本課程中，除非有特別聲明，我們一概研究全函數(shù)。(8)偏函數(shù)(partialfunction)：部分有定義的函數(shù)。即D(f)?X（或者f-1(Y)?X）。XD(f)D(f)?X9離散數(shù)學(xué)
5、例1.截痕函數(shù)(crossfunction)：f:X?2X?Y，f(x)={x}?Y。例2.計(jì)算機(jī)是一個(gè)函數(shù)。即計(jì)算機(jī):輸入空間?輸出空間；編譯是一個(gè)函數(shù)。即編譯:源程序?目標(biāo)程序 。X?Y{x}?YYXx10離散數(shù)學(xué)例3.絕對(duì)值函數(shù)(absolutevaluefunction)f={(x,
6、x
7、):x?R}(這里R是實(shí)數(shù)集)或者f:R?R+?{0}，f(x)=
8、x
9、(這里R+={x:x?R?x?0}是正實(shí)數(shù)集)，于是D(f)=R,R(f)=R+?{0}；絕對(duì)值函數(shù)可以拆成兩個(gè)函數(shù)的并。即f=f
10、1?f2，這里f1={(x,x):x?R?x?0}，D(f1)=R+?{0},R(f1)=R+?{0}；f2={(x,-x):x?R?x?0}，D(f2)=R-,R(f2)=R+；(這里R-={x:x?R?x?0}是負(fù)實(shí)數(shù)集)，于是；11離散數(shù)學(xué)D(f)=D(f1)?D(f2)=R,R(f)=R(f1)?R(f2)=R+?{0}；絕對(duì)值函數(shù)也可采用下面分段定義的形式。即。例4.后繼函數(shù)(successorfunction)后繼函數(shù)也稱為Peano函數(shù)。設(shè)(X,?)是一全序集，并且每個(gè)元素的后繼存
11、在，即(?x?X)(?y?X)(x+=y)，則關(guān)系P={(x,y):x?X?y?X?x+=y}是一函數(shù)，即所謂的后繼函數(shù)。記作12離散數(shù)學(xué)s:X?X，對(duì)任何x?Xs(x)=x+=x+1這里加1表示后繼，并非都是普通的算術(shù)加1。例如,若?就是普通的小于等于?全序，則當(dāng)X=I(整數(shù)集)時(shí)，s(-6)=-6+1=-5,s(1)=1+1=2，相當(dāng)于普通算術(shù)的加1；當(dāng)X=E(偶整數(shù)集)時(shí)，s(-6)=-6+1=-4,s(2)=2+1=4，相當(dāng)于普通算術(shù)的加2；當(dāng)X={n:n?I?3?n}(3倍數(shù)整數(shù)集)時(shí)
12、，s(-3)=-3+1=0,s(9)=9+1=12，相當(dāng)于普通算術(shù)的加3。例5.第一章§2定義2定義的集合的并運(yùn)算是一函數(shù)。即f?(2X?2X)?2X，f={((x,y),z):x,y,z?2X?z=x?y}13離散數(shù)學(xué)這里(x,y)是前者，z是后者；或者f:2X?2X?2X，f(x,y)=z=x?y，這里(x,y)是自變量，z是因變量；因此f=?。例6.函數(shù)未必都有統(tǒng)一的表達(dá)式。不象連續(xù)函數(shù)那樣大多都有統(tǒng)一的表達(dá)式，離散函數(shù)大多都沒(méi)有統(tǒng)一的表達(dá)式。一種定義離散函數(shù)的方式是采用下面的分段定義形式
