構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

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1、構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［摘要］“構(gòu)造法”作為一種重要化歸手段，在數(shù)學(xué)解題屮有著重要的作用?本文從“構(gòu)造函數(shù)”、“構(gòu)造方程”、“構(gòu)造圖形”、“構(gòu)造關(guān)系式輔助式”、等構(gòu)造出發(fā)，通過(guò)對(duì)例題的剖析談?dòng)懥藰?gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用.［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)解題；構(gòu)造；構(gòu)造法解題的思路；構(gòu)造法解題的模式引言：所謂構(gòu)造法是指某些數(shù)學(xué)問(wèn)題用通常辦法難以解決時(shí)根據(jù)題目條件和結(jié)論的特征，性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點(diǎn)觀察分析，解釋對(duì)象抓住反映問(wèn)題的條件與結(jié)論之間內(nèi)在聯(lián)系，用已知的數(shù)學(xué)關(guān)系為'支架’構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對(duì)象，使原問(wèn)題中隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對(duì)象中清楚的表現(xiàn)岀來(lái)，從而借助該數(shù)學(xué)對(duì)象解決

2、數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法.1.構(gòu)造法的相關(guān)概念1.1構(gòu)造法解題的思路構(gòu)造法解題的基本思想方法是“轉(zhuǎn)化”思想?用構(gòu)造法解題的巧妙之處在于不是直接去解決所給的問(wèn)題，而是把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)與原問(wèn)題有關(guān)的輔助新問(wèn)題，然后通過(guò)新問(wèn)題的解決幫助解決原問(wèn)題?蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家c.A婭諾夫斯卡亞在題為〈〈解題意味著什么〉〉中精辟的指出：解數(shù)學(xué)題總味著將要解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知解決的問(wèn)題?著就充分說(shuō)明了“轉(zhuǎn)化”思想在解數(shù)學(xué)題中的重要性.1.2構(gòu)造法解題的模式構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富.解題也沒(méi)有一個(gè)絕對(duì)統(tǒng)一的模式，它需要更多的分析，類比，歸納，判斷，同時(shí)能激發(fā)人們的知覺(jué)思維與發(fā)散思維?如何借助構(gòu)造法實(shí)現(xiàn)解題過(guò)程的轉(zhuǎn)化呢？關(guān)鍵是對(duì)題設(shè)條件進(jìn)行

3、邏輯處理，通過(guò)一般的特殊化的想象，巧妙的對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析與綜合，構(gòu)造出一種思維的創(chuàng)造物或想象物?構(gòu)造法解題過(guò)程的人概模式為：函數(shù)關(guān)系式對(duì)題設(shè)條件通過(guò)創(chuàng)新思維圖象通過(guò)推演構(gòu)造方程結(jié)論特征的分析實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化2.構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用2?1構(gòu)造方程法遇到等量性的問(wèn)題都可以使用方程，對(duì)于一些計(jì)算問(wèn)題也可以運(yùn)用方程思想來(lái)解決，倘若一個(gè)量不能或難于直接求的就設(shè)法導(dǎo)出它滿足的方程,對(duì)于問(wèn)題就歸結(jié)為求方程了.女口，例］.設(shè)⑦仇c為實(shí)數(shù)?若(a+c)(a+b+c)vO,證明：(b-c)?>4a(a+b+c);分析：所證不等式。(方-審-牝⑺+方+刀〉。，聯(lián)想到一元二次方程的根的判別式B2-4AC,因此

4、可以構(gòu)造二次函數(shù)/(x)=+(b-c)x+(a+b+c),只要證得方程/(兀)=0有兩根或/(兀)與兀軸相交即可.當(dāng)a=0時(shí),由已知條件可得b主c.(否則，若b=c,貝Ijc@+c)v0o2,vO,不成立).當(dāng)aH0時(shí)，設(shè)/(x)=ax2+(b-c)兀+(a+b+c),因?yàn)閒(0)二a+b+cj(-l)=2(a+c),由已知I(a+c)(a+b+c)vO,所以/(0)-/(-l)<0,所以二次函數(shù)/(x)的圖象與兀軸相交，故△=(Z?—c)2一4q(g+/?+c)>0,艮卩(Ac)?>4a(a+b+c)?說(shuō)明，有些不等式的證明，如果借助已知條件的特點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造二次函數(shù)來(lái)處理將會(huì)非常簡(jiǎn)捷，這種

5、例子很多.例2?求y=x[5x+l的值域.x-x+1分析:求函數(shù)的值域的方法很多，判別式法是常用的一種，它的理論依據(jù)是將y二f(x)化為關(guān)于x的二次方程，那么方程有實(shí)數(shù)解時(shí),判別式由此可求得函數(shù)的值.解:將y二X「5x+l變形為關(guān)于X的方程(l-y)x2+(y-5)x+(l-y)=0x~-x+l當(dāng)yzl時(shí)，(y-5)2-4(l-y)2--3y2-2y+21>0,所以，-3分呂，當(dāng)y二1口寸，x二0,此吋ye[-3,

6、]?于是y二x'5x+l的值域便是[_3厶.x'-x+l3例3?設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式：r(x—1)^1997(x-1)二-1I(y-l)'+1997(y-1)二1貝0x+

7、y二.[分析]:此題用常規(guī)方法，分別求出x和y的值后再求x+y則既繁又難，三次方程畢竟不熟悉?若將兩方程聯(lián)立構(gòu)造出方程(x-1)3+1997(x-1)=(1-y尸+1997(1-y)二1,利用函數(shù)f(t)=t3+1997t的單調(diào)性，易得x-l=l-y,自然、簡(jiǎn)潔.2.2構(gòu)造函數(shù)法函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)中心，方程可以看作是函數(shù)值為零的情況,不等式看以看作兩個(gè)函數(shù)之間的不等關(guān)系?因此方程和不等式都是函數(shù)的特殊表現(xiàn)形式，函數(shù)圖象可以看作為研究函數(shù)性質(zhì)的工具，進(jìn)而解決一類相關(guān)問(wèn)題?構(gòu)造函數(shù)法是運(yùn)用函數(shù)概念和性質(zhì)構(gòu)造輔助函數(shù)解題?構(gòu)造函數(shù)的前提是熟悉函數(shù)的概念，牢固掌握各類初等函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造過(guò)程要求

8、我們正確的合理的選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，并準(zhǔn)確的運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，以便快捷無(wú)誤的解決原問(wèn)題.例4.解方程(6x+5)(1+J(6x+5)2+4)+Hl+2+4)=0?分析:注意到(6x+5)(1+J(6x+5F+4)與x(l++4))具有相同的結(jié)構(gòu),令則原方程為f(6x+5)=-f(x).只要證明f(x)是奇函數(shù)且是單調(diào)函數(shù)，就能簡(jiǎn)單的解出此題.解：構(gòu)造函數(shù)f(x)二x(1+J兀$+4)),原方程化為f(6x+5)+f(