淺談構造法在解題中的應用

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1、淺談構造法在解題中的應用臨川二中：劉勝軍提要:構造法是以創(chuàng)造性思維為依托，用已知條件中的元素為“元件”，用已知數(shù)學關系為“支架”，在思維中構造出一種新的數(shù)學形式，使解題突破常規(guī)另辟蹊徑，表現(xiàn)出簡捷、明快、精巧、奇異的特點。本文結合一些典型的例題，介紹構造法在解題中的巧妙運用。關鍵詞:構造法、解題、應用“構造法”是指為解決某個數(shù)學問題時先構造一種數(shù)學形式（比如幾何圖形、代數(shù)式、方程等），尋求與問題的某種內(nèi)在聯(lián)系，使之簡單明了，起到化簡、轉(zhuǎn)化和橋梁作用，從而找到解決問題的思路、方法。此法重在“構造”、深刻分析、正確思維和豐富聯(lián)想。它體現(xiàn)了數(shù)

2、學中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸等思想，滲透著猜想、試驗、探索、概括等重要方法，是一種富有創(chuàng)造性的解決問題的方法。數(shù)學問題千變?nèi)f化，題型豐富，某些問題技巧性強，如果只用常規(guī)方法去處理可能很復雜，即使花費了大量時間和精力也難以湊效。如果我們能夠根據(jù)題設條件和題型結構的特點，恰當?shù)剡\用構造法，能使問題迎刃而解。下面舉一些應用構造法的例題，介紹其在數(shù)學解題中的巧妙應用。一、構造圖形解題:當題設條件中的數(shù)量關系有比較明顯的幾何意義或以某種方式與幾何圖形相連接時，我們可以根據(jù)已知條件構造出符合要求的特殊圖形，明確反映各個變量之間的關系，就能準確快速地做出解答

3、。例1、在ΔABC中，角A、B、C的對邊邊長分別是a、b、c,若c-a等于AC邊上的高h，則+的值是______.A.1B.C.D.-1解:由于本題是選擇題，可以根據(jù)題意構造邊長分別為a=1、b=、c=2的直角三角形ABC，從而有1=c-a=h，符合條件；因此+=sin30o+cos60o=1，故選A.點評：這是一道比較典型的三角函數(shù)題，通過對題目的觀察，由目標導向構造直角三角形，從而化難為易迅速求解，節(jié)省寶貴的時間。例2、在ΔABC中，已知2b=a+c,且a

4、據(jù)相似三角形性質(zhì)及勾股定理求出三邊之比。在ΔABC中，在AB上取一點D滿足ACD=90o,可得BCD=A,ΔABC∽ΔCBD,設CD=x,BD=y,得y=,x=.在RtΔACD中,由勾股定理有(c-y)=x+b,又2b=a+c，即有3a-8ac+3c=0,解得a=c（∵a

5、達到求解的目的。二、構造代數(shù)式解題:如果利用函數(shù)的觀點，借助函數(shù)的有關性質(zhì)分析問題，可根據(jù)題意構造出相應的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化問題，解決問題。例3、已知，R且，,求?分析：初看此題一時無法入手，研究條件發(fā)現(xiàn)兩個等式有些相似之處，對第二個等式變形：，對照兩等式和所求的結論思考，是否可以找到和的關系？從而構造函數(shù),則兩個條件分別變?yōu)楹?。解：由與=這兩部分完全類似，由此可構造函數(shù)形式，設,t,易證在上單調(diào)遞增，又題中條件變?yōu)?0,,得,所以.評注：函數(shù)是在中學數(shù)學中是很重要的數(shù)學知識，函數(shù)的性質(zhì)也很豐富，所以在解題過程中構造函數(shù)，充分利用函數(shù)的性質(zhì)

6、，將會給我們的解題帶來很大的方便。例4、已知當x[0,1]時，不等式x-x(1-x)+(1-x)sin>0恒成立，試求的取值范圍？分析：初看此題，研究條件我們發(fā)現(xiàn)本題有兩個函數(shù)：二次函數(shù)和三角函數(shù)，一時不知從哪里入手。分析之后，我們發(fā)現(xiàn)構造二次函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)更容易解決問題。解：構造關于x的二次函數(shù)f(x)=xcos-x(1-x)+(1-x)sin=(sin++1)x-(2sin+1)x+sin由f(0)>0,f(1)>0,可知sin>0,cos>0故對稱軸x=-==(0,1)于是必有Δ=(1+2sin)-4sin(+1+sin)<0

7、解得k+<

8、+B=2-cos40o①A-B=cos20o+cos100o+cos120o=2cos60ocos40o-②①+②得，A=，即10o+50o-sin40osin80o=.點評：這是一道比較典型的三角求值題，