淺談構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用

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1、淺談構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用臨川二中：劉勝軍提要:構(gòu)造法是以創(chuàng)造性思維為依托，用已知條件中的元素為“元件”，用已知數(shù)學(xué)關(guān)系為“支架”，在思維中構(gòu)造出一種新的數(shù)學(xué)形式，使解題突破常規(guī)另辟蹊徑，表現(xiàn)出簡捷、明快、精巧、奇異的特點(diǎn)。本文結(jié)合一些典型的例題，介紹構(gòu)造法在解題中的巧妙運(yùn)用。關(guān)鍵詞:構(gòu)造法、解題、應(yīng)用“構(gòu)造法”是指為解決某個數(shù)學(xué)問題時先構(gòu)造一種數(shù)學(xué)形式（比如幾何圖形、代數(shù)式、方程等），尋求與問題的某種內(nèi)在聯(lián)系，使之簡單明了，起到化簡、轉(zhuǎn)化和橋梁作用，從而找到解決問題的思路、方法。此法重在“構(gòu)造”、

2、深刻分析、正確思維和豐富聯(lián)想。它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸等思想，滲透著猜想、試驗(yàn)、探索、概括等重要方法，是一種富有創(chuàng)造性的解決問題的方法。數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，題型豐富，某些問題技巧性強(qiáng)，如果只用常規(guī)方法去處理可能很復(fù)雜，即使花費(fèi)了大量時間和精力也難以湊效。如果我們能夠根據(jù)題設(shè)條件和題型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用構(gòu)造法，能使問題迎刃而解。下面舉一些應(yīng)用構(gòu)造法的例題，介紹其在數(shù)學(xué)解題中的巧妙應(yīng)用。一、構(gòu)造圖形解題:當(dāng)題設(shè)條件中的數(shù)量關(guān)系有比較明顯的幾何意義或以某種方式與幾何圖形相連接時，我們可以根據(jù)已知

3、條件構(gòu)造出符合要求的特殊圖形，明確反映各個變量之間的關(guān)系，就能準(zhǔn)確快速地做出解答。例1、在ΔABC中，角A、B、C的對邊邊長分別是a、b、c,若c-a等于AC邊上的高h(yuǎn)，則+的值是______.A.1B.C.D.-1解:由于本題是選擇題，可以根據(jù)題意構(gòu)造邊長分別為a=1、b=、c=2的直角三角形ABC，從而有1=c-a=h，符合條件；因此+=sin30o+cos60o=1，故選A.點(diǎn)評：這是一道比較典型的三角函數(shù)題，通過對題目的觀察，由目標(biāo)導(dǎo)向構(gòu)造直角三角形，從而化難為易迅速求解，節(jié)省寶貴的時間。

4、例2、在ΔABC中，已知2b=a+c,且a

5、(-1)::(+1)。點(diǎn)評：這是一道有一定難度數(shù)學(xué)題，如果按照常規(guī)思路，利用正弦定理和余弦定理求解的話有一定的難度，但本題通過對題目的觀察，構(gòu)造相似三角形，從而達(dá)到求解的目的。二、構(gòu)造代數(shù)式解題:如果利用函數(shù)的觀點(diǎn)，借助函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)分析問題，可根據(jù)題意構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化問題，解決問題。例3、已知，R且，,求?分析：初看此題一時無法入手，研究條件發(fā)現(xiàn)兩個等式有些相似之處，對第二個等式變形：，對照兩等式和所求的結(jié)論思考，是否可以找到和的關(guān)系？從而構(gòu)造函數(shù),則兩個條件分別變?yōu)楹?。解：由與=這兩

6、部分完全類似，由此可構(gòu)造函數(shù)形式，設(shè),t,易證在上單調(diào)遞增，又題中條件變?yōu)?0,,得,所以.評注：函數(shù)是在中學(xué)數(shù)學(xué)中是很重要的數(shù)學(xué)知識，函數(shù)的性質(zhì)也很豐富，所以在解題過程中構(gòu)造函數(shù)，充分利用函數(shù)的性質(zhì)，將會給我們的解題帶來很大的方便。例4、已知當(dāng)x[0,1]時，不等式x-x(1-x)+(1-x)sin>0恒成立，試求的取值范圍？分析：初看此題，研究條件我們發(fā)現(xiàn)本題有兩個函數(shù)：二次函數(shù)和三角函數(shù)，一時不知從哪里入手。分析之后，我們發(fā)現(xiàn)構(gòu)造二次函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)更容易解決問題。解：構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù)

7、f(x)=xcos-x(1-x)+(1-x)sin=(sin++1)x-(2sin+1)x+sin由f(0)>0,f(1)>0,可知sin>0,cos>0故對稱軸x=-==(0,1)于是必有Δ=(1+2sin)-4sin(+1+sin)<0解得k+<

8、題向簡單明了的方向轉(zhuǎn)化。例5、求cos10o+cos50o-sin40osin80o的值?分析：三角中的正弦與余弦是兩個對稱元素，利用互余函數(shù)構(gòu)造對偶式、借用配對思想可以輕松完成有關(guān)三角題的解答。解:設(shè)A=cos10o+cos50o-sin40osin80o，構(gòu)造對偶式B=,則A+B=2-cos40o①A-B=cos20o+cos100o+cos120o=2cos60ocos40o-②①+②得，A=，即10o+50o-sin40osin80o=.點(diǎn)評：這是一道比較典型的三角求值題，