第七章 正交小波基的構(gòu)造

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1、第七章正交小波基的構(gòu)造本章討論在MRA框架下如何構(gòu)造正交小波基。由于MRA框架既可以由尺度函數(shù)生成，也可以由生成，因此我們從兩個(gè)方面入手討論構(gòu)造正交小波基。本章中，濾波器代表高通濾波器；濾波器代表低通濾波器；7.1由尺度函數(shù)構(gòu)造正交小波基1．由正交尺度函數(shù)構(gòu)造正交小波基，構(gòu)造步驟如下：（1）選擇或使為一組正交基。（2）求：(7-1)或(7-2)（3）由求：(7-3)或(7-4)（4）由，構(gòu)造正交小波基函數(shù)：(7-5)或(7-6)例1Haar小波的構(gòu)造選擇尺度函數(shù)顯然為一正交歸一基，則由式（7-3）可得這就是Haar小波函數(shù)，

2、其波形略。2．由尺度函數(shù)為Riesz基時(shí)構(gòu)造正交小波基函數(shù)要找到一個(gè)多分辨率分析的尺度函數(shù)，使它的整數(shù)平移構(gòu)成一個(gè)正交系列，有時(shí)候不太方便。但要找到一個(gè)函數(shù)，使它的整數(shù)位移構(gòu)成一個(gè)Riesz基來(lái)構(gòu)造一個(gè)多分辨率框架，從而構(gòu)造一組正交小波基。首先給出Riesz基的定義：設(shè)函數(shù)張成的空間為的Riesz基的充分必要條件為存在兩常數(shù)，使得對(duì)于所有都有(7-7)可以證明式（7-7）等價(jià)于因此我們可以定義一個(gè)，使得顯然，滿足即是正交基。且可以構(gòu)成的多分辨率分析框架。由此可由入手，構(gòu)造一個(gè)正交小波基。舉例（略）可以證明如下：（1）除了時(shí)（

3、此時(shí)為Haar小波）例外，其他都不具有正交性，因此必須實(shí)行正交化處理過(guò)程。（2）正交的及其構(gòu)造的小波函數(shù)（Battle－Lemarie小波函數(shù)）支集都為非緊的（定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)軸）。（3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，（或）關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)奇數(shù)時(shí)，（或）關(guān)于對(duì)稱。而所有Battle－Lemarie小波關(guān)于對(duì)稱。并且已有學(xué)者證明和都具有指數(shù)衰減性。7.2緊支集正交小波基的性質(zhì)和構(gòu)造由MRA理論可知，尺度函數(shù)和小波函數(shù)均滿足雙尺度方程：（7-8a）（7-8b）由上式可知，即使是支集緊的，相應(yīng)的的支集未必是緊的。因此既簡(jiǎn)單又重要的是要求式（7-8）的右邊

4、僅包含有限項(xiàng)，此時(shí)只要作適當(dāng)?shù)钠揭谱儞Q即可將雙尺度方程寫(xiě)成（7-9a）（7-9b）如此，若是正交MRA中緊支集的母函數(shù)，則由此構(gòu)成的正交小波基的母函數(shù)也是緊支集的。現(xiàn)在的關(guān)鍵問(wèn)題是要求出滿足式（7-9a）的雙尺度方程中的。由式（7-9a）我們發(fā)現(xiàn)，如果先直接尋找函數(shù)，然后再來(lái)確定有限項(xiàng)的是不容易的。相反，若有限長(zhǎng)度的已確定，再來(lái)確定則容易些。我們先不考慮這樣得到的是否滿足多尺度分析的生成元的正交性等條件，而只考慮若給定一組常數(shù)，如何由解方程（7-9a）來(lái)求得的問(wèn)題。7.2.1有限長(zhǎng)雙尺度方程的求解由有限長(zhǎng)雙尺度方程求解尺度函

5、數(shù)有多種方法，下面介紹常用的兩種。解法1理論推求法。由式（4-57）可知：其中為的離散傅里葉變換：則這種方法看起來(lái)簡(jiǎn)單，但在具體應(yīng)用時(shí)很難用數(shù)值方法求解，因此只有理論上的價(jià)值。解法2數(shù)值迭代法。（略）解法3解方程組法。若事先知道方程（7-9a）的解存在，且，則可簡(jiǎn)單的直接求出在所有二進(jìn)小數(shù)上的值，如下：所以或在雙尺度方程（7-9a）中，令，得（7-10）此方程組在標(biāo)準(zhǔn)化條件下，有唯一解。由式（5-11）求得后，利用雙尺度方程即可求得之值。重復(fù)上述過(guò)程，即可求得一切二進(jìn)小數(shù)之值（其中）。就數(shù)值計(jì)算而言，這足夠了。7.2.2緊支

6、集正交小波基的構(gòu)造構(gòu)造緊支集正交小波基的雙尺度方程也就是構(gòu)造特征多項(xiàng)式的方法可歸結(jié)為下列步驟：1）選定一整數(shù)。2）選定一多項(xiàng)式，使它滿足以下三式：(5-11)(5-12)其中滿足，其中(5-13)(5-14)1）尋找一實(shí)系數(shù)三角多項(xiàng)式，使得。選取方法是：從的每四個(gè)復(fù)零點(diǎn)中選兩個(gè)，每對(duì)實(shí)零點(diǎn)中選一個(gè)，按照下式構(gòu)造。2）則得最簡(jiǎn)單的情況是取，此時(shí)是正系數(shù)多項(xiàng)式，所以條件式（5-12）顯然得到滿足，且因當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，因此，(5-15)故條件式（5-14）也得到滿足。于是利用Riesz引理即可構(gòu)作實(shí)系數(shù)三角多項(xiàng)式，滿足由構(gòu)作時(shí)，我

7、們選取時(shí)，我們選取在單位圓內(nèi)的根，這相應(yīng)于設(shè)計(jì)濾波器時(shí)選取最小相位。當(dāng)時(shí)，的具體解析式為相應(yīng)的為：當(dāng)時(shí)：此時(shí)的非零長(zhǎng)度為。當(dāng)時(shí)：此時(shí)的非零長(zhǎng)度為。圖7-1Daubechies尺度函數(shù)（N＝4，6，8，…40）圖7-2Daubechies小波函數(shù)（N＝4，6，8，…40）當(dāng)時(shí)相應(yīng)的尺度方程系數(shù)見(jiàn)表7-1（參考，彭P75），其相應(yīng)的非零長(zhǎng)度為，圖7-1和7-2示出了一些尺度函數(shù)與小波母函數(shù)的圖形。對(duì)這樣的緊支集小波，我們討論一下它的一般性質(zhì)。（1）支集大小由式（5-15）得到不同下尺度函數(shù)的支集為其相應(yīng)的小波母函數(shù)的支集為（2）

8、對(duì)稱性問(wèn)題盡管緊支集小波有支集緊的優(yōu)點(diǎn)，但它一般沒(méi)有對(duì)稱性?？梢宰C明，除Haar小波（其關(guān)于為反對(duì)稱，其關(guān)于為對(duì)稱）外，其他所有連續(xù)的緊支集正交小波基及其尺度函數(shù)都不具有任何對(duì)稱性。（3）光滑性問(wèn)題緊支集多尺度生成元的光滑性也較差。要增加的光滑度，則要增加支集長(zhǎng)度，即時(shí)域支集變長(zhǎng)，其光滑度