數(shù) 列 極 限

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1、.數(shù)　列　極　限　　一、重點難點分析：　　1.三個最基本的極限　　(1)常數(shù)數(shù)列的極限就是其本身，即：C=C?！　?2)=0。　　(3)當(dāng)

2、q

3、<1時，qn=0。　　這三個最基本的極限是求復(fù)雜數(shù)列極限的基礎(chǔ)和化歸方向?！　?.數(shù)列極限四則運算法則：　　如果an=A,bn=B,那么：　　(an±bn)=an±bn=A±B?！　?an·bn)=an·bn=A·B?！　?=(bn≠0，B≠0)。　　==(an≥0,A≥0)?！　?yīng)特別注意理解：　　(1)公式成立的條件：公式成立的前提是{an}與{bn}都存在

4、極限?！　?2)公式的實質(zhì)：是四則運算與取極限這兩種運算可以變換順序。　　(3)公式的推廣：公式中的兩項的和，差，積可以推廣到有限個項，但是它們都不能推廣到無限個?！　?.無窮數(shù)列各項的和...　　(1)無窮遞縮等比數(shù)列：　　當(dāng)公比

5、q

6、<1時無窮等比數(shù)列{an}稱為無窮遞縮等比數(shù)列?！　n==?！　t稱這個極限叫做無窮遞縮等比數(shù)列各項的和，用S表示，即S=?！　?2)其它無窮數(shù)列各項的和：　　若無窮數(shù)列{bn}不是等比數(shù)列，但可求得前n項和Tn，且Tn=t?！　t無窮數(shù)列{bn}的各項和存在，且為：

7、S=Tn=t?！　?.求數(shù)列極限的方法與基本類型：　　1)．求數(shù)列極限的基本思路是“求和——變形——利用極限的運算法則求解”，而在求解前應(yīng)先化為三個重要的極限?！　?)．常見的幾類數(shù)列極限的類型和方法有：　?、傩停悍肿臃帜阜謩e求和再化簡轉(zhuǎn)化　　②型：分子分母分別求和再化簡轉(zhuǎn)化　?、垡阎獦O限值定參數(shù)：待定系數(shù)法　　3)．要注意極限運算法則的使用范圍，以及特殊極限的使用條件?！　?)．實際運用中極限思想應(yīng)引起注意?！　《?yīng)用舉例：　　例1．求下列極限：...　　(1)　　(2)　　(3)　　解：(1)∵　

8、　∴原式=?！　?2)∵　　　　=　　∴原式=。　　(3)∵　　　　　　∴原式。...　　例2．設(shè)數(shù)列a1,a2,……an……的前n項和Sn與an的關(guān)系是：，其中b是與n無關(guān)的常數(shù)且b≠-1?！　、偾骯n和an-1的關(guān)系式?！、趯懗鲇胣和b表示an的表達式?！　、蹖?

9、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+kan(k為不等于1的常數(shù))且，求k的取值范圍?！　〗馕觯?1)由條件知該數(shù)列極限存在且為0，所以原式可變形為：?！　★@然，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時，左邊才有極限，而要使其極限為0，則-(a+b)=0，解得b=-1，因此a=1,b=-1。　　(2)Sn=1+kan,當(dāng)n=1時，a1=S1=1+ka1,　　∴，當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=kan-kan-1,　　即：(k-1)an=kan-1，∴(常數(shù))　　∴，由得,　　∴，故，∴k2

10、（2001全國高考）已知等差數(shù)列前三項為a,4,3a，前n項和為Sn,Sk=2550。　　(1)求a及k的值；(2)求?！　〗馕觯?1)設(shè)該數(shù)列為{an},則a1=a,a2=4,a3=3a,Sk=2550?！　∮梢阎猘+3a=2×4，∴a1=a=2，公差d=a2-a1=4-2=2?！　∮傻胟2+k-2550=0，解得k=50，或k=-51?！　　郺=2,k=50?！　?2)由得Sn=n(n+1)　　∴?！　　??！　∮?xùn)練題：　　1．求下列極限　　(1)　　(2)　　(3)　　(4)　　2．設(shè)首項為1，公比

11、為q的等比數(shù)列的前n項和為Sn，求?！　?．RtΔABC中，AC=a,∠A=θ,∠C=90...°，排列著無限多個正方形。（如圖所示），其中面積依次為S1，S2，S3，……?！　≡噷⑦@些正方形的面積之和S用a和θ表示，若S為RtΔABC的面積的，試確定θ的值?！　⒖即鸢福骸　　?.(1)　　(2)2　　(3)當(dāng)

12、a

13、>

14、b

15、時，原式=，當(dāng)

16、a

17、<

18、b

19、時，原式=。　　(4)　　2.∵，∴。　?、佼?dāng)q=1時，。　?、诋?dāng)q≠1時，　　若01，?！　」剩骸　?．設(shè)第n個正方形的邊長為x

20、n,考慮圖中三角形的長關(guān)系是　　　，∴，又...，　　∴，∴{Sn}是首項，公比為的等比數(shù)列。　　又，∴S=，而，　　∴，∴，∴。..