傅里葉變換_離散時間傅里葉變換_離散傅里葉變換的關系

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1、傅里葉變換_離散時間傅里葉變換_離散傅里葉變換的關系E-mail:lumin_3@126.com仿真文件名：ctft_dtft_dft_fft.m1信號圖1連續(xù)信號時域波形如上圖所示，要進行變換的信號在時域上為一矩形脈沖，脈寬為，即有(1)2連續(xù)時間傅里葉變換一個信號的連續(xù)時間傅里葉變換定義為(2)則上一節(jié)給出的信號的連續(xù)時間傅里葉變換可表示為(3)下面為通過MATLAB畫出的其幅度譜（）圖2連續(xù)時間傅里葉變換幅度譜1離散時間傅里葉變換一個離散信號的離散時間傅里葉變換定義為(4)其中，為經采樣頻率歸一化后的角頻率。相對于以為周期?，F(xiàn)對第1節(jié)中的信

2、號用采樣頻率進行采樣，則可得到離散化信號，其傅里葉變換為(5)下面為通過MATLAB畫出的其幅度譜（）圖3離散時間傅里葉變換幅度譜上圖中，脈寬N為60個采樣點（）。下面試著說明離散時間傅里葉變換在一個周期內的譜與連續(xù)時間傅里葉變換的關系。當采樣頻率足夠高時，由式可近似表示為(6)其中，。定義，并令，則上式可化為(7)于是有(8)為了對比連續(xù)時間傅里葉變換與離散時間傅里葉變換對一個連續(xù)時間信號及其采樣信號的作用，這里取，脈寬，則可得。下面將式和式表示的信號的幅度譜畫在一起，如下圖所示。圖4信號幅度譜從圖中可以看出，只要DTFT結果的頻率點數(shù)取得足夠

3、多（這里取8192個點），兩者是基本一致的。這說明，在仿真過程中，可以通過式在近似連續(xù)時間傅里葉變換的結果。1離散傅里葉變換（DFT）設是一個長度為N的有限長序列，則的N點離散傅里葉變換（DFT）為：(9)其中，。注：當用采樣率去采一個連續(xù)信號時，相當于把信號頻帶限定在，即對此離散信號進行離散時間傅里葉變換時，頻率范圍為。現(xiàn)對這個頻率范圍進行N點采樣（相當于對原始離散信號進行N點DFT），則變換中的基有如下關系：(10)其中，，為采樣時間間隔，，為頻率采樣間隔。DFT具有周期性和對稱性。在實際應用中可以采用FFT來計算信號和DFT。由于DFT（F

4、FT）實際上是對DTFT結果在頻域的采樣，所以對于如上一節(jié)中的信號，這里可以得到(11)對于上一節(jié)，經采樣頻率采樣后得到的信號，為了使點數(shù)與上面的DTFT仿真中的頻域點數(shù)（8192）一致，這里取nfft=8192點FFT，其頻率范圍為[(-nfft/2:nfft/2-1)/nfft*fs]。具體地，，。信號如下圖所示圖5信號時域圖形下面將式、式和式表示的信號的幅度譜畫在一起，如下圖所示。圖6信號幅度譜從上圖可以看出，式可以用來計算連續(xù)時間傅里葉變換的近似。而且可以驗證，DFT（FFT）為DTFT的結果（頻域）的離散化結果。