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《離散時間信號的傅里葉變換》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第五章離散時間傅立葉變換本章內(nèi)容：離散時間傅立葉變換的表示；常用信號的傅立葉變換；傅立葉變換的性質(zhì)；傅立葉變換的收斂；周期信號的傅立葉變換；對偶性；卷積性與相乘性；LTI系統(tǒng)的頻域響應(yīng)與系統(tǒng)的頻域分析；通過對離散時間傅立葉變換的學(xué)習(xí)，掌握信號在頻域的分析思想、物理含義及系統(tǒng)在頻域分析的方法，理解信號通過系統(tǒng)傳輸?shù)牟皇д鏃l件。5.1非周期信號的表示：離散時間傅里葉變換一、從DFS到DTFT讓我們先來觀察周期性矩形脈沖信號，取其周期N=10、20與40時，其頻譜的變化情況如下圖所示。在討論離散時間周期性矩形脈沖信號的頻譜
2、時,我們看到:當(dāng)信號周期N增大時,頻譜的包絡(luò)形狀不變,幅度減小,而頻譜的譜線變密。當(dāng)時,有,而從時域看,當(dāng)周期信號的周期時,就變成了一個非周期的有限長序列.可以預(yù)見,對一個非周期的有限長序列,它的頻譜應(yīng)該是一個連續(xù)的頻譜.（如動畫5-1所示）對周期信號由DFS有當(dāng)時，，令有————DTFT顯然，對是以為周期的。參看動畫5-2將其與表達(dá)式比較有：于是：當(dāng)時，，，，。當(dāng)k在一個周期范圍內(nèi)變化時，在范圍內(nèi)變化，所以積分區(qū)間是。表明:離散時間序列可以分解為頻率在區(qū)間上連續(xù)分布的、幅度為的復(fù)指數(shù)分量的線性組合。結(jié)論：離散時間非
3、周期信號的傅立葉變換對為：二.常用信號的離散時間傅立葉變換1.,通常是復(fù)函數(shù)。的模和相位：信號的幅頻特性如下：由圖可以得到:時,信號表現(xiàn)為低通特性,為單調(diào)指數(shù)衰減;時,信號表現(xiàn)為高通特性,為擺動指數(shù)衰減。2、DTFT的收斂問題三、當(dāng)序列是無限長序列時,由于表達(dá)式是無窮項級數(shù),當(dāng)然會存在收斂問題.，則存在，且級數(shù)一致收斂于。，則級數(shù)以均方誤差最小準(zhǔn)則收斂于。5.2周期信號的DTFT對連續(xù)時間信號,有由此推斷對離散時間信號或許有相似的情況.但由于DTFT一定是以為周期的,因此,頻域的沖激應(yīng)該是周期性的沖激串:對其作反變換
4、有:可見：由DFS，有，因此,周期信號可表示為DTFT從上式可以看出與連續(xù)時間傅立葉變換中的形式是完全一致的.例：不一定是周期的,當(dāng)時，才是周期的.的頻譜如圖所示：5.3離散時間傅立葉變換的性質(zhì)通過對DTFT性質(zhì)的討論,目的在于揭示信號時域和頻域特性之間的關(guān)系。一.周期性:若，則。二.線性三.時移與頻移若，則：四.時間反轉(zhuǎn)若，則。五.共軛對稱性若，則。六.時域差分與求和例：，∴七.時域內(nèi)插定義：∴信號時頻域的約束關(guān)系可參見動畫6八.頻域微分九.Parseval定理:對非周期離散時間信號：稱為的能量譜密度函數(shù)。對周期離
5、散時間信號：稱為周期信號的功率譜。5.4卷積特性若，則。即是系統(tǒng)的頻率特性。說明:該特性提供了對LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析的理論基礎(chǔ)。例:求和特性的證明5.5相乘性質(zhì)如果:則:由于和都是以為周期的，因此上述卷積稱為周期卷積。例：y(n)=x(n)·c(n)，其中調(diào)制信號的過程可見動畫75.7對偶性一.DFS的對偶性，由于???本身也是以N為周期的序列,當(dāng)然也可以將其展開成DFS形式即：??????????????????????????????????或這表明???序列的DFS系數(shù)就是即：利用對偶性可以很方便的將DFS在
6、時域得到的性質(zhì)對偶到頻域得到相應(yīng)的性質(zhì).例1:從時移到頻移，利用時移性質(zhì)有:由對偶性有:∴∵∴即是頻移特性。二.DTFT與CFS間的對偶由????????????????????????知????????是一個以???為周期的連續(xù)函數(shù)。若在時域構(gòu)造一個以???為周期的連續(xù)時間信號???????則可將其表示為CFS:，比較?????和???的表達(dá)式可以看出???????????，這表明：若則利用這一對偶關(guān)系,可以將DTFT的若干特性對偶到CFS中去;或者反之。例:從CFS的時域微分到DTFT的頻域微分————CFS的時
7、域微分特性∵若?????????????????????????????????????????????，則∴————DTFT的頻域微分特性例:從CFS的卷積特性到DTFT的相乘特性由CFS的卷積特性：由對偶性：如圖所示對偶關(guān)系示意圖可參看動畫5-85-9例：求????????????????????????????????????????????????的?????????????????！???????????????????，∴5.8由LCCDE表征的系統(tǒng)工程中使用相當(dāng)廣泛的一類離散時間LTI系統(tǒng)可以由一個線性
8、常系數(shù)差分方程LCCDE來表征:一.系統(tǒng)的頻域響應(yīng)對LCCDE描述的系統(tǒng)，有以下的方法可求得系統(tǒng)的頻域響應(yīng)。方法一:可以從求解???????????時的差分方程得到,而將?????變換而求得????????。方法二:可以通過求出???????????時方程的解而得到????????因為????是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù),此時的。方法三:對方程兩邊進(jìn)
