離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換

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1、第五章離散時(shí)間傅立葉變換本章內(nèi)容：離散時(shí)間傅立葉變換的表示；常用信號(hào)的傅立葉變換；傅立葉變換的性質(zhì)；傅立葉變換的收斂；周期信號(hào)的傅立葉變換；對(duì)偶性；卷積性與相乘性；LTI系統(tǒng)的頻域響應(yīng)與系統(tǒng)的頻域分析；通過(guò)對(duì)離散時(shí)間傅立葉變換的學(xué)習(xí)，掌握信號(hào)在頻域的分析思想、物理含義及系統(tǒng)在頻域分析的方法，理解信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)傳輸?shù)牟皇д鏃l件。5.1非周期信號(hào)的表示：離散時(shí)間傅里葉變換一、從DFS到DTFT讓我們先來(lái)觀察周期性矩形脈沖信號(hào)，取其周期N=10、20與40時(shí)，其頻譜的變化情況如下圖所示。在討論離散時(shí)間周期性矩形脈沖信號(hào)的頻譜時(shí),我們看到:當(dāng)信號(hào)周期N增大時(shí),頻譜的包絡(luò)形狀不變,幅度減小,而頻譜的譜

2、線變密。當(dāng)時(shí),有,而從時(shí)域看,當(dāng)周期信號(hào)的周期時(shí),就變成了一個(gè)非周期的有限長(zhǎng)序列.可以預(yù)見(jiàn),對(duì)一個(gè)非周期的有限長(zhǎng)序列,它的頻譜應(yīng)該是一個(gè)連續(xù)的頻譜.（如動(dòng)畫(huà)5-1所示）對(duì)周期信號(hào)由DFS有當(dāng)時(shí)，，令有————DTFT顯然，對(duì)是以為周期的。參看動(dòng)畫(huà)5-2將其與表達(dá)式比較有：于是：當(dāng)時(shí)，，，，。當(dāng)k在一個(gè)周期范圍內(nèi)變化時(shí)，在范圍內(nèi)變化，所以積分區(qū)間是。表明:離散時(shí)間序列可以分解為頻率在區(qū)間上連續(xù)分布的、幅度為的復(fù)指數(shù)分量的線性組合。結(jié)論：離散時(shí)間非周期信號(hào)的傅立葉變換對(duì)為：二.常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換1.,通常是復(fù)函數(shù)。的模和相位：信號(hào)的幅頻特性如下：由圖可以得到:時(shí),信號(hào)表現(xiàn)為低通特性,

3、為單調(diào)指數(shù)衰減;時(shí),信號(hào)表現(xiàn)為高通特性,為擺動(dòng)指數(shù)衰減。2、DTFT的收斂問(wèn)題三、當(dāng)序列是無(wú)限長(zhǎng)序列時(shí),由于表達(dá)式是無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù),當(dāng)然會(huì)存在收斂問(wèn)題.，則存在，且級(jí)數(shù)一致收斂于。，則級(jí)數(shù)以均方誤差最小準(zhǔn)則收斂于。5.2周期信號(hào)的DTFT對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào),有由此推斷對(duì)離散時(shí)間信號(hào)或許有相似的情況.但由于DTFT一定是以為周期的,因此,頻域的沖激應(yīng)該是周期性的沖激串:對(duì)其作反變換有:可見(jiàn)：由DFS，有，因此,周期信號(hào)可表示為DTFT從上式可以看出與連續(xù)時(shí)間傅立葉變換中的形式是完全一致的.例：不一定是周期的,當(dāng)時(shí)，才是周期的.的頻譜如圖所示：5.3離散時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)通過(guò)對(duì)DTFT性質(zhì)的討論,目

4、的在于揭示信號(hào)時(shí)域和頻域特性之間的關(guān)系。一.周期性:若，則。二.線性三.時(shí)移與頻移若，則：四.時(shí)間反轉(zhuǎn)若，則。五.共軛對(duì)稱性若，則。六.時(shí)域差分與求和例：，∴七.時(shí)域內(nèi)插定義：∴信號(hào)時(shí)頻域的約束關(guān)系可參見(jiàn)動(dòng)畫(huà)6八.頻域微分九.Parseval定理:對(duì)非周期離散時(shí)間信號(hào)：稱為的能量譜密度函數(shù)。對(duì)周期離散時(shí)間信號(hào)：稱為周期信號(hào)的功率譜。5.4卷積特性若，則。即是系統(tǒng)的頻率特性。說(shuō)明:該特性提供了對(duì)LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析的理論基礎(chǔ)。例:求和特性的證明5.5相乘性質(zhì)如果:則:由于和都是以為周期的，因此上述卷積稱為周期卷積。例：y(n)=x(n)·c(n)，其中調(diào)制信號(hào)的過(guò)程可見(jiàn)動(dòng)畫(huà)75.7對(duì)偶性一

5、.DFS的對(duì)偶性，由于???本身也是以N為周期的序列,當(dāng)然也可以將其展開(kāi)成DFS形式即：??????????????????????????????????或這表明???序列的DFS系數(shù)就是即：利用對(duì)偶性可以很方便的將DFS在時(shí)域得到的性質(zhì)對(duì)偶到頻域得到相應(yīng)的性質(zhì).例1:從時(shí)移到頻移，利用時(shí)移性質(zhì)有:由對(duì)偶性有:∴∵∴即是頻移特性。二.DTFT與CFS間的對(duì)偶由????????????????????????知????????是一個(gè)以???為周期的連續(xù)函數(shù)。若在時(shí)域構(gòu)造一個(gè)以???為周期的連續(xù)時(shí)間信號(hào)???????則可將其表示為CFS:，比較?????和???的表達(dá)式可以看出???????

6、????，這表明：若則利用這一對(duì)偶關(guān)系,可以將DTFT的若干特性對(duì)偶到CFS中去;或者反之。例:從CFS的時(shí)域微分到DTFT的頻域微分————CFS的時(shí)域微分特性∵若?????????????????????????????????????????????，則∴————DTFT的頻域微分特性例:從CFS的卷積特性到DTFT的相乘特性由CFS的卷積特性：由對(duì)偶性：如圖所示對(duì)偶關(guān)系示意圖可參看動(dòng)畫(huà)5-85-9例：求????????????????????????????????????????????????的?????????????????！???????????????????，∴5.8

7、由LCCDE表征的系統(tǒng)工程中使用相當(dāng)廣泛的一類離散時(shí)間LTI系統(tǒng)可以由一個(gè)線性常系數(shù)差分方程LCCDE來(lái)表征:一.系統(tǒng)的頻域響應(yīng)對(duì)LCCDE描述的系統(tǒng)，有以下的方法可求得系統(tǒng)的頻域響應(yīng)。方法一:可以從求解???????????時(shí)的差分方程得到,而將?????變換而求得????????。方法二:可以通過(guò)求出???????????時(shí)方程的解而得到????????因?yàn)????是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù),此時(shí)的。方法三:對(duì)方程兩邊進(jìn)