a第3講1.4特征函數(shù)-1

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1、江西理工大學(xué)理學(xué)院§1.4特征函數(shù)定義設(shè)X與Y都是概率空間(?,-,P)上的實(shí)值隨機(jī)變量，則稱Z=X+jY為復(fù)隨機(jī)變量，其中i,j=?1為虛數(shù)單位。Z的分布函數(shù)定義為(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。如果實(shí)二維隨機(jī)向量(X1,Y1),(X2,Y2),L,(Xn,Yn)相互獨(dú)立，則稱復(fù)隨機(jī)變量X1+jY1，X2+jY2，K,Xn+jYn相互獨(dú)立。1江西理工大學(xué)理學(xué)院如果EX、EY存在，則定義Z=X+jY的數(shù)學(xué)期望為EZ=EX+jEYZ1=X1+jY1,Z2=X2+jY2的協(xié)方差定義為：cov(Z1,Z2)=E[(Z1?EZ

2、1)(Z2?EZ2)]2方差D()Z=cov(Z,Z)=E[Z?EZ]定義1.10設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則稱[itX]∞itx()gX(t)=Ee=∫edFx,?∞

3、∞+∞?iωt傅里葉變換F(ω)=J[f(t)]=∫f(t)edt?∞?11+∞iωt傅里葉逆變換g(t)=J[F(ω)]=∫F(ω)edt?∞2π3江西理工大學(xué)理學(xué)院特征函數(shù)的一些性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)g(t)是特征函數(shù)，則g(0)=1,g(t)≤1,g(?t)=g(t)[itX]g(t)=Ee,性質(zhì)2特征函數(shù)g(t)在(?∞,∞)上一致連續(xù)。n性質(zhì)3若隨機(jī)變量X的n階矩EX存在，則它的特征函數(shù)n次可導(dǎo)，且對(duì)k≤n，有()kk(k)g(0)=jEX4江西理工大學(xué)理學(xué)院性質(zhì)4特征函數(shù)g(t)是非負(fù)定的，即對(duì)?自然數(shù)n，實(shí)數(shù)

4、t1,t2,L,tn及復(fù)數(shù)a1,a2,L,an，有nn∑∑g()ti?tkaiak≥0i==11k性質(zhì)5若X與Y相互獨(dú)立，則gX+Y(t)(=gXt)gY(t)it(X+Y)itXitYitXitYgX+Y(t)=E(e)=E(ee)=E(e)?E(e)若X1,X2,L,Xn相互獨(dú)立，則X=X1+X2+L+Xn的特征函數(shù)為gX1+X2+L+Xn(t)=gX1(t)gX2(t)LgXn(t)5江西理工大學(xué)理學(xué)院性質(zhì)6（惟一性定理）隨機(jī)變量的分布函數(shù)與特征函數(shù)一一對(duì)應(yīng)的，即可相互惟一確定。對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量()[itX

5、]∞itx()gt=Ee=∫efxdx?∞1∞?itx()f(x)=∫egtdt?∞2πg(shù)(t)=pejtxk對(duì)離散型隨機(jī)變量∑kk性質(zhì)7（線性性）設(shè)a,b為常數(shù)，Y=aX+b,則jbt=Eejt(aX+b)gY(t)=egX(at)()jtaXjtb=E(ee)6江西理工大學(xué)理學(xué)院性質(zhì)8(Bochner-辛欽定理)函數(shù)g(t)是特征函數(shù)的充要條件為：g(t)連續(xù)非負(fù)定的，且g(0)=1。注：性質(zhì)4特征函數(shù)g(t)是非負(fù)定的，即對(duì)?自然數(shù)n，實(shí)數(shù)t1,t2,L,tn及復(fù)數(shù)a1,a2,L,an，有nn∑∑g()ti

6、?tkaiak≥0i==11k7江西理工大學(xué)理學(xué)院例1設(shè)X服從參數(shù)為λ的Poisson分布，求其特征函數(shù)。kλ?PX=k=eλk=jt解：(),0,1,2,Le?λeλek!∞k∞jtkjtkλ?λ()λe∴g(t)=∑ee=e?λjtk!∑=eλ(e?1)k=0k!k=0例2指數(shù)分布的特征函數(shù)?e?λx，x>0λf(x)=?λ>0?0,x≤0+∞itx+∞itx?λxg(t)=∫ef(x)dx=∫eλedx?∞0+∞(it?λ)xλ=λ∫edx=,λ>00λ?it8江西理工大學(xué)理學(xué)院例3設(shè)X服從N(0,1)，求

7、其特征函數(shù)?！?∞?x2?itxitxg()t=∫ef()xdx=∫exp???edx?∞?∞2π?2?1??x2???t2?=J?exp??????(?t)=exp?????2π???2????2?2例設(shè)X服從N(μ,σ),求其特征函數(shù)。X?μ解:令Y=,則Y~N(0,1),且X=σY+μσ?2t2?jtσf(t)=Eeit(σY+μ)ejμtf()t=eμexp?X()=Yσ??2???2t2?22σ?t?=exp()jtexp???σμ??=exp?jμt???2??2???9江西理工大學(xué)理學(xué)院例3推證:x

8、2∞itx1∞itx?g()t=∫ef()xdx=∫ee2dx?∞2π?∞x22x1∞itx?i∞itx?g′(t)=∫ixee2dx=?∫ede22π?∞2π?∞22xxiitx?2+∞t∞itx?2=?ee?∫eedx=?tg(t)2π?∞2π?∞2t?g′(t)=?tg(t),?g(t)=e2.2dydyt2t=?ty?=?tdt,?lny=?+C,?2+Cdty2