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1、第31卷第5期電子科技大學學報Vol.31No.52002年10月JournalofUESTofChinaOct.2002*迭代法迭代陣譜半徑新上界**112高中喜黃廷祝王廣彬(1.電子科技大學應用數學學院成都610054；2.上海大學數學系上海200436)【摘要】引用雙嚴格對角占優(yōu)的概念，針對線性方程組Ax=b在求數值解時常用的迭代方法，給出了Jacobi和Gauss-Seidel迭代法迭代陣譜半徑的新上界，該新上界優(yōu)于嚴格對角占優(yōu)矩陣條件下得到的已有的結果,是已有結果在更廣泛矩陣類條件下的推廣，對相應迭代法迭代陣譜半徑的估計更加精確。最后給出
2、了數值例子說明所給結果的優(yōu)越性。關鍵詞線性方程組;雙對角占優(yōu);迭代法;譜半徑中圖分類號O241.6;O151.2ANewUpperBoundfortheSpectralRadiusofIterativeMatrices112GaoZhongxiHuangTingzhuWangGuangbin(1.CollegeofAppl.Math.,UESTofChinaChengdu610054;2.Dept.ofMath.,ShanghaiUniversityShanghai200436)stractJacobiandGauss-Seideliteratio
3、nsforsolvinglargelinearsystemAx=barestudied.Basedontheconceptofthedoublydiagonaldominance,newupperboundforthespectralradiusofJacobiandGauss-Seideliterationsarepresented.Resultsobtainedimprovetheknowncorrespondingresultsandaresuitedtoextendedmatrices.Finally,twonumericalexample
4、saregivenforillustratingadvantageresultsinthispaper.Keywordslinearsystem;diagonalstrictlydominance;iteration;spectralradius大型方程組求解的迭代法之重要問題是研究相應迭代法迭代陣譜半徑的估計，它對于研究迭代法收斂性以及收斂速度等是非常有意義的。文獻[1~3]對于嚴格對角占優(yōu)矩陣的情形進行了研究，但嚴格對角占優(yōu)矩陣由于條件較強，往往不便于應用。下面引入雙嚴格對角占優(yōu)矩陣的概念，得到關于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法迭
5、代陣譜半徑上界新的好的估計。1注記n,nn,n設R為階實矩陣的全體n,A=(a)∈R,記ijnN=,2,1{?,n}，R(A)=
6、a
7、，
8、
9、A
10、
11、=max
12、a
13、，?i,j∈N。i∑ij∞∑ijii≠jj=1[1]定義1若
14、)aa
15、>R(AR(A),?i,j∈N,i≠j，則稱A為雙嚴格對角占優(yōu)矩陣，記A∈C。iijjij在求解線性方程組Ax=bA非奇2002年6月4日收稿*四川省跨世紀杰出青年科技學術帶頭人基金資助項目，編號：JSA1081**男27歲碩士生第5期高中喜等：迭代法迭代陣譜半徑新上界543求解過程中，常將A分裂為A=D?L?U，其中D=
16、diag(a,a,?,a),L是矩陣A的嚴格下1122nn三角矩陣，U是矩陣A的嚴格上三角矩陣。[2，3]下面給出兩種重要的迭代法：1)Jacobi迭代法k+1kx=Bx+f?1?1其中B=D(L+U)，f=Db。2)Gauss-Seidel迭代法k+1kx=Mx+g?1?1其中M=(D?L)U，g=(D?L)b。?n?[4]n,n??引理1設A=(a)∈R,則A的每一特征值均落在下述個Cassini卵形域O并集之中ij??ij?2?O:
17、λ?a
18、
19、λ?a
20、≤R(A)R(A)?i,j∈N且i≠j。ijiijjij[1，5]引理2設A∈C,則A非奇。
21、[2，4]n,n定理1設A=(a)∈R,則ρ(A)≤
22、
23、A
24、
25、。ij∞2Jacobi和Gauss-Seidel迭代法迭代陣譜半徑上界的估計定理2設A∈C，則Jacobi迭代法迭代陣譜半徑ρ(B)的上界1ρ(B)≤max(R(L+U)R(L+U
26、)aa
27、)2i,j∈Nijiijji≠j?1證明因為A∈C，所以a≠0。設λ為D(L+U)的任意特征值，則ii?1det(λI?D(L+U))=0即det(λD?(L+U))=0?1故使λD?(L+U)∈C的λ均不是D(L+U)的特征值，即當2λ
28、aa
29、>R(L+U)R(L+U)iijjij?1?1λ一定不是
30、D(L+U)的特征值，所以若λ為D(L+U)的特征值時，由引理1可知，至少有一對i,j(i≠j)，使得2λ
31、aa
32、≤R(L
