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《余數(shù)的可加性可減性》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、余數(shù)定理（一）可加性?a與b的和除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之和（或這個和除以c的余數(shù)）．例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以(23+16)除以5的余數(shù)等于3+1=4．注意：當(dāng)余數(shù)之和大于除數(shù)時，所求余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)．例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以(23+19)除以5的余數(shù)等于(3+4)除以5的余數(shù)。?（二）可減性a與b的差除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之差．例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以(23－16)除以5的余數(shù)等于3－1=2．注意：當(dāng)較大數(shù)的余數(shù)小于
2、較小數(shù)的余數(shù)時，所求余數(shù)等于c減去余數(shù)之差．例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以?除以(23－19)的余數(shù)等于5－(4－3)=4.??（三）可乘性a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之積（或這個積除以c的余數(shù)）．例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以?除以5的余數(shù)等于?．??注意：當(dāng)余數(shù)之積大于除數(shù)時，所求余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)．例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以?除以5的余數(shù)等于?除以5的余數(shù)．?（四）乘方性如果a與b除以m的余數(shù)相同，那么an與bn除以m的余數(shù)也相同．余數(shù)判
3、別法???當(dāng)一個數(shù)不能被另一個數(shù)整除時，雖然可以用長除法去求得余數(shù)，但當(dāng)被除位數(shù)較多時，計算是很麻煩的．建立余數(shù)判別法的基本思想是：為了求出“N被m除的余數(shù)”，我們希望找到一個較簡單的數(shù)R，使得：N與R對于除數(shù)m同余．由于R是一個較簡單的數(shù)，所以可以通過計算R被m除的余數(shù)來求得N被m除的余數(shù)．⑴整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于N的個位數(shù)被2或5除的余數(shù)；⑵整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù)；⑶整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等于N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù)；⑷整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù)
4、；⑸整數(shù)N被11除的余數(shù)等于N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù)；⑹整數(shù)N被7，11或13除的余數(shù)等于先將整數(shù)N從個位起從右往左每三位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被7，11或13除的余數(shù)就是原數(shù)被7，11或13除的余數(shù)中國剩余定理：?在一千多年前的《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說：一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數(shù)．此問題亦稱“孫子問題”，有很多有趣的別名，如“韓信點兵”，?“秦王暗點兵”，“鬼谷算”
5、，“隔墻算”，“大衍求一術(shù)”等等．??我國明朝有位大數(shù)學(xué)家叫程大位，他在解答“物不知其數(shù)”問題（即：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？）時用四句詩概括出這類問題的優(yōu)秀解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正月半，除百零五便得知．”這首詩就是解答此類問題的金鑰匙，它被世界各國稱為“中國剩余定理”（Chinese?Remainder?Theorem），是我國古代數(shù)學(xué)的一項輝煌成果．詩中的每一句話都表示一個步驟：??三人同行七十稀，是說除以3所得的余數(shù)用70乘．???五樹梅花廿一枝，是說除以5所
6、得的余數(shù)用21乘．???七子團圓正月半，是說除以7所得的余數(shù)用15乘．除百零五便得知，是說把上面乘得的3個積加起來，減去105的倍數(shù)，減得差就是所求的數(shù)．??此題的中國剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余數(shù)，21乘5除所得的余數(shù)，15乘7除所得的余數(shù)，把這3個結(jié)果加起來，如果它大于105，則減去105，所得的差如果仍比105大，則繼續(xù)減去105，最后所得的整數(shù)就是所求．也就是2×70＋3×21＋2×15=233,233－105=128,128－105=23.??為什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105
7、是從何而來？先看70，21，15，105的性質(zhì)：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一個被3除余a而被5與7整除的數(shù)；21是5除余1，被3與7整除的數(shù)，因此21是被5除余b，被3與7整除的數(shù)；同理15c是被7除余c，被3、5整除的數(shù)，105是3，5，7的最小公倍數(shù)．也就是說，?是被3除余a，被5除余b，被7除余c的數(shù)，這個數(shù)可能是解答，但不一定是最小的，因此還要減去它們的公倍數(shù)．
