拉格朗日函數(shù)的可加性.doc

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1、拉格朗日函數(shù)的可加性假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)由A和B兩部分組成，且每一部分都是封閉的，因而分別有拉格朗日函數(shù)若兩部分相距很遠(yuǎn)，以至于它們之間的相互作用可以忽略不計(jì)時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)能和勢(shì)能分別趨向極限因而系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)趨向極限此即拉格朗日函數(shù)的可加性。于是，在拉格朗日方程組中，A和B兩個(gè)部分的變量完全分開(kāi)?？梢?jiàn)，拉格朗日函數(shù)的可加性意味著，在沒(méi)有相互作用的系統(tǒng)中，任一部分的運(yùn)動(dòng)方程不可能包含另一部分的量。另一方面，由拉格朗日方程可以看出，將拉格朗日函數(shù)乘以一個(gè)任意常量，不會(huì)改變運(yùn)動(dòng)微分方程。這似乎會(huì)導(dǎo)致一種不確定性：各個(gè)孤立系統(tǒng)（例如上面提到的系統(tǒng)A

2、和B）的拉格朗日函數(shù)可以乘以不同的任意常量，分別得到、。但是，拉格朗日函數(shù)的可加性消除了這種不確定性。按拉格朗日函數(shù)的可加性要求，有上式意味著：不同系統(tǒng)所乘以的任意常量、應(yīng)具有相同的量綱，從而或者為無(wú)量綱的量，否則不滿足拉格朗日函數(shù)的可加性要求，即拉格朗日函數(shù)的可加性只允許所有力學(xué)系統(tǒng)都乘以同一個(gè)任意常量。例子：由兩個(gè)相距甚遠(yuǎn)的單個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)（兩質(zhì)點(diǎn)間相互作用可以忽略不計(jì)）組成的質(zhì)點(diǎn)系，對(duì)于每個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，通過(guò)對(duì)稱性和伽利略相對(duì)性原理得到其拉格朗日函數(shù)的形式為（C為常量），且取，此時(shí)m具有質(zhì)量的物理意義。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，根據(jù)拉格朗日函數(shù)的可加性，

3、系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)為，即代表不同質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量之間的比例關(guān)系，這一比例關(guān)系是具有實(shí)際物理意義的，和應(yīng)具有相同的量綱。由以上討論，我們還可以看到，拉格朗日函數(shù)的可加性要求只允許所有力學(xué)系統(tǒng)都乘以同一個(gè)任意常量，這樣拉格朗日函數(shù)的可加性就消除了拉格朗日方程中拉格朗日函數(shù)的不確定性。