數(shù)值分析上機(jī)實(shí)習(xí)題及答案

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1、[數(shù)值分析]2017-2018第二學(xué)期上機(jī)實(shí)習(xí)題111：編程計(jì)算，其中c=4.4942′10307，給出并觀察計(jì)算結(jié)果，若有問題，分析之。解：matlab編程如下：圖一：編程圖二：運(yùn)行結(jié)果Matlab中，formatlongg對(duì)雙精度，顯示15位定點(diǎn)或浮點(diǎn)格式，由上圖可知，當(dāng)輸入較小的n值（n分別取10,100,1000,100000,100000000）的時(shí)候，結(jié)果后面的指數(shù)中總是含有e-308，這和題目中的C值很相似，我認(rèn)為是由于分母中的C值相對(duì)于n值過大，出現(xiàn)了“大數(shù)吃小數(shù)”的現(xiàn)象，這是不符合算法原則的。2：

2、利用牛頓法求方程于區(qū)間的根，考慮不同初值下牛頓法的收斂情況。解：牛頓法公式為：xk+1=xk-xk-lnxk-21-1xk利用matlab編程11當(dāng)輸入初值=3的時(shí)候并不能收斂。輸入2.8依舊不能收斂。考慮利用plot函數(shù)繪制函數(shù)f=x-lnx-2的圖像，發(fā)現(xiàn)其在區(qū)間[2,4]內(nèi)并無根。3：給出在xk=0+0.25k處的值yk,k=0,1,2,3,4.請(qǐng)給出由節(jié)點(diǎn)xk確定的三次樣條插值函數(shù)S(x),使其滿足條件：S/(0)=0,S/(1)=-0.074,分析逼近效果如何？解：根據(jù)李慶揚(yáng)《數(shù)值分析》第五版Page43

3、的公式可以計(jì)算得到三次樣條插值。11根據(jù)6.11和6.12式解得系數(shù)。d058.5366d117.15728d28.67705d32.0934d40.905136列方程A*M=B；A=B=解得M為M=由此和6.8式可得其三次樣條函數(shù)如下：11得到最終的插值結(jié)果如下：總的來說，利用三次樣條插值的精度還是比較高的。4:給出一個(gè)通用多項(xiàng)式擬合程序，輸入部分：數(shù)據(jù)組個(gè)數(shù)為n,擬合的誤差限e輸出部分：多項(xiàng)式次數(shù)、系數(shù)向量、擬合的實(shí)際誤差。11function[Aceff]=zxec()x=input('請(qǐng)輸入變量x：');y

4、=input('請(qǐng)輸入變量y：');e=input('請(qǐng)輸入擬合限差：');fori=1:10A=polyfit(x,y,i);%A為擬合多項(xiàng)式系數(shù)向量Y=polyval(A,x);%Y為擬合多項(xiàng)式ifsum((Y-y).^2)

5、2.513.015.6>>[A,c,eff]=zxec請(qǐng)輸入變量x：[12345678910]請(qǐng)輸入變量y：[1.33.54.25.07.08.810.112.513.015.6]請(qǐng)輸入擬合限差：2.5011.5382-0.36002.3447A=1.5382-0.3600c=1eff=2.3447>>實(shí)例擬合結(jié)果如下圖所示：11由以上擬合結(jié)果可知，在給定的限差的情況下，擬合結(jié)果為一次，得到的實(shí)際誤差達(dá)到2.3447，可見擬合效果并不是很理想。如果繼續(xù)縮小誤差限差值，那么擬合次數(shù)將會(huì)增加，擬合的結(jié)果也將會(huì)更加趨近于

6、真實(shí)結(jié)果。5：已知，利用復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式和Romberg算法求的近似值；并觀察實(shí)際計(jì)算結(jié)果，比較它們的收斂速度。解：①復(fù)化梯形公式計(jì)算結(jié)果11分析：從結(jié)果中不斷改進(jìn)等分點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以看出復(fù)化梯形公式的結(jié)果需要等分至少20點(diǎn)才能開始收斂，若想收斂到精確值，則需要增加區(qū)間等分點(diǎn)數(shù)。function[Y]=fhdx()n=input('請(qǐng)輸入要等分x區(qū)間的個(gè)數(shù)：');h=1/n;s=0;fork=1:n-1x=k*h;y=4/(1+x^2);s=2*y+s;Y=h/2*(6+s);holdon;plo

7、t(x,Y,'r*');gridon;end程序代碼：②復(fù)化Simpson公式計(jì)算結(jié)果11function[Y]=fhsimpson()n=input('請(qǐng)輸入將x區(qū)間等分的個(gè)數(shù)：');h=1/n;s1=0;s2=0;fork=1:2*n-1x=k*h/2;y=4/(1+x^2);ifmod(k,2)==0s1=s1+2*y;elses2=s2+4*y;endY=h/6*(6+s1+s2);holdon;plot(x,Y,'r*');end分析：從結(jié)果圖中可以看出對(duì)于復(fù)化Simpson公式，只需要對(duì)區(qū)間等分兩次（即

8、n=2）就可以得到非常理想的結(jié)果，說明復(fù)化Simpson公式的收斂速度非?？?。程序代碼：③Romberg算法11分析：Romberg算法根據(jù)給定的限差可以直接得出收斂值，收斂速度快。functions=romberg1(a,b,eps)ifnargin==2eps=1.0^-6;elseifnargin<2errorreturnendt1=10000;t2=