資源描述：
《數(shù)值方法課程設(shè)計(jì)--數(shù)值積分》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、《數(shù)值方法》課程設(shè)計(jì)內(nèi)容提要：實(shí)際問題中常常需要計(jì)算積分，有些數(shù)值方法，如微分方程和積分方程的求解，也都和積分計(jì)算相聯(lián)系。依據(jù)微積分基本定理，對于積分只要找到被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)。F’(x)=f(x)，便有牛頓―萊布尼茲公式來求得積分．但實(shí)際運(yùn)用這種方法往往有困難，因?yàn)榇罅康谋环e函數(shù)，找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)；另外當(dāng)f(x)是由實(shí)驗(yàn)測量或數(shù)值計(jì)算給出的一張數(shù)據(jù)表時，牛頓―萊布尼茲公式也不能直接運(yùn)用，因此，實(shí)際往往通過其他的一些方法如利用復(fù)化梯形公式、龍貝格公式、牛頓―萊布尼茲公式等來求解。復(fù)化梯形求積法通常把積分區(qū)間等分成若干個子區(qū)間，在每一個子區(qū)間上用低階的
2、求積公式，對所有的子區(qū)間求和即得整個區(qū)間[a,b]上的積分公式。龍貝格算法是在區(qū)間逐次分半過程中，對梯形公式的近似值進(jìn)行加權(quán)平均獲得準(zhǔn)確程度較高的積分近似值的一種方法，它具有公式簡練、計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確、使用方便、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)，因此在等距情形宜采用龍貝格求積公式。龍貝格算法也稱為逐次分半加速法，它是在梯形公式、辛普森公式和牛頓―萊布尼茲公式之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上．構(gòu)造出一種加速計(jì)算積分的方法。作為一種外推算法，它在不增加計(jì)算量的前提下提高了誤差的精度。在等距基點(diǎn)的情況下，用計(jì)算機(jī)計(jì)算積分值通常都采用把區(qū)間逐次分半的方法進(jìn)行。這樣，前一次分割得到的函數(shù)值在分半以后仍可被利用．并且易于編
3、程。-13-目錄一、程序設(shè)計(jì)主要內(nèi)容……………………………………………………31.程序設(shè)計(jì)目的…………………………………………………………32.程序設(shè)計(jì)背景…………………………………………………………33．程序設(shè)計(jì)要求…………………………………………………………34．程序設(shè)計(jì)意義…………………………………………………………45．所做工作：……………………………………………………………4二、理論分析…………………………………………………………………41、問題分析………………………………………………………………42、理論依據(jù)及求解對策…………………………………………………4三、方
4、法詳解……………………………………………………………………51、推導(dǎo)…………………………………………………………………52．分析及程序框圖……………………………………………………5四、問題解決…………………………………………………………………9五、結(jié)果分析………………………………………………………………13六、體會……………………………………………………………………14七、參考文獻(xiàn)…………………………………………………………………14-13-一．程序設(shè)計(jì)主要內(nèi)容1.程序設(shè)計(jì)目的：1）學(xué)會用數(shù)值積分避開求f(x)的原函F(x)的繁瑣步驟，并可以有效的控制結(jié)果，使其在要求的誤差范
5、圍之內(nèi)。2）在某些求積函數(shù)中，用數(shù)值積分求解一些原函數(shù)F(x)不能用初等函數(shù)表示成有限形式。3）熟練掌握用復(fù)化梯形法和龍貝格法求解積分。4）編程實(shí)現(xiàn)復(fù)化梯形法的遞推算法。5）編程實(shí)現(xiàn)龍貝格(Romberg)積分法。2.程序設(shè)計(jì)背景：對于較大積分區(qū)間、復(fù)雜被積函數(shù)、較高精度要求的數(shù)值積分問題，需要較多的求積節(jié)點(diǎn)。如果采用高階插值型求積公式，當(dāng)被積函數(shù)f(x)不是多項(xiàng)式函數(shù)時，求積過程可能不穩(wěn)定，因此這時只能采用復(fù)化求積。而龍貝格求積是對逐次分半梯形公式求積公式加速的一種外推方法，收斂速度較復(fù)化求積更快，也是一種實(shí)用的數(shù)值積分方法。在一元函數(shù)的積分學(xué)中,我們已經(jīng)熟知,若函數(shù)f(x
6、)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)且其原?函數(shù)為F(x),則可用牛頓―萊布尼茲公式來求定積分。牛頓―萊布尼茲公式雖然在理論上或在解決實(shí)際問題中都起了很大的作用,?但它并不能完全解決定積分的計(jì)算問題。因?yàn)槎ǚe分的計(jì)算常常會碰到以下三種情況：(1)被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)不易找到。許多很簡單的函?數(shù),例等,其原函數(shù)都不能用初等函數(shù)表示成有限形式。(2)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式。其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示,無法求出原函數(shù)。(3)盡管f(x)的原函數(shù)能表示成有限形式但其表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜。另外，許多實(shí)際問題中的被積函數(shù)往往是列表函數(shù)或其他形式的非連續(xù)函數(shù)，對這類函數(shù)的定積分，也
7、不能用不定積分方法求解。由于以上原因，數(shù)值積分的理論與方法一直是計(jì)算數(shù)學(xué)研究的基本課題。3．程序設(shè)計(jì)要求：1）用復(fù)化梯形法的遞推算法計(jì)算不同積分，要求誤差不超過10-10,并輸出積分區(qū)間的分割數(shù)。2）用Romberg積分法計(jì)算不同積分，要求誤差不超過10-10，并與Simpson方法比較計(jì)算量。-13-4．程序設(shè)計(jì)意義：數(shù)值計(jì)算的廣泛性和深入性已成為現(xiàn)代科技發(fā)展的重要特征，數(shù)值計(jì)算和理論研究、科學(xué)實(shí)驗(yàn)并列為科學(xué)研究的三大支柱。用數(shù)學(xué)方法、將計(jì)算機(jī)作為工具、提高解決各種實(shí)際問題的能力是現(xiàn)代社會的需要，也是
