數(shù)值方法 第８章 數(shù)值積分

《數(shù)值方法 第８章 數(shù)值積分》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、第八章數(shù)值積分§引言如果的原函數(shù)為，那么有注意到，但　無原函數(shù)，無法求出。對(duì)于～令,稱為求積節(jié)點(diǎn)，為求積系數(shù)§1Newton—Cotes求積公式（I）梯形公式30,稱為求的梯形公式當(dāng)為其變量的連續(xù)函數(shù)。梯形公式余項(xiàng)，利用積分中值定理定理設(shè)上可積，并在[a,b]上不變號(hào)，那么存在對(duì)于積分余項(xiàng)是的連續(xù)函數(shù)，在上不變號(hào)，因此有=+30（II）Simpson求積公式作二次Lagrange插值有其中此公式稱為Simpson求積公式。變號(hào)，因此不能直接應(yīng)用積分中值定理。令；=30令是的連續(xù)函數(shù)。而即在[a,b]上不變號(hào)，由此可利用積分中值定理例應(yīng)用梯形公式和Simpson公式計(jì)算積分解應(yīng)用梯形

2、公式應(yīng)用Simpson公式直接計(jì)算有例2．用梯形公式和Simpson公式計(jì)算積分的近似值，并討論誤差解計(jì)算誤差0.01965730計(jì)算誤差1.69536一般情況估計(jì)誤差要大于實(shí)際計(jì)算誤差計(jì)算誤差為(III)代數(shù)精度用Simpson公式求的近似值要比梯形公式求的近似值更精確，代數(shù)精度在一定程度上刻畫了這一特性（*），求積系數(shù)，求積節(jié)點(diǎn)定義如果求積公式對(duì)所有準(zhǔn)確成立，即，而對(duì)于某個(gè)次數(shù)為的多項(xiàng)式，有，則稱求積公式（*）具有m次代數(shù)精度。求積公式（*）對(duì)是線性的，即由此可知，所有有等價(jià)于存在一個(gè)使，等價(jià)于，由此引入等價(jià)定義。30定義如果則稱求積公式（*）至少具有m次代數(shù)精度，如果還有，那

3、么稱求積公式（*）具有m次代數(shù)精度。注意到梯形公式余項(xiàng)當(dāng)時(shí)有求積公式，，所以具有3次代數(shù)精度。例確定求積公式中求積系數(shù)A，B及節(jié)點(diǎn)，使求積公式的代數(shù)精度盡可能高。解令2h=A+B三個(gè)方程解A，B，，A=，B=當(dāng)求積公式代數(shù)精度為230（IV）Newton-Cotes求積公式將區(qū)間[a,b]等分為n份，令此公式稱為Newton-Cotes求積公式，稱為Cotes求積系數(shù)對(duì)于給定n，可查表，見P.233表8.1對(duì)于,Newton-Cotes求積公式余項(xiàng)由下述定理給出。定理Newton-Cotes求積公式的余項(xiàng)分兩種情況若n為偶數(shù)，，那么存在30若n為奇數(shù)，，那么存在由定理看出，n奇數(shù)，

4、求積公式代數(shù)精度為n.n偶數(shù)，求積公式代數(shù)精度為n+1.梯形公式n=1，代數(shù)精度為1。Simpson，公式,n=2,代數(shù)精度為3。例，已有：梯形公式SimpsonNewton-Cotes實(shí)際：同樣Newton-Cotes可以看出，30（V）Newton-Cotes求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性Newton-Cotes求積公式有令那么有，由此得設(shè)無誤差，但有誤差，,反映在數(shù)值積分中令當(dāng)由此當(dāng)求積公式數(shù)值穩(wěn)定。當(dāng)出現(xiàn)負(fù)時(shí)，將出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定，因此求積公式不采用。30§2復(fù)合求積公式用梯形公式用Simpson求積公式由此看出，，來計(jì)算很不準(zhǔn)確，如果要得到很準(zhǔn)確的值，必須采用高階的Newton-Cot

5、es求積公式，但當(dāng)求積公式數(shù)值上不穩(wěn)定。由此可以看出，不能靠提高階的方法來提高計(jì)算精度?；谏鲜鲈?，一般把整個(gè)積分區(qū)間分成若干個(gè)子區(qū)間（通常是等分），再在每個(gè)子區(qū)間上采用低階求積公式，這種方法稱為復(fù)合求積方法。（I）復(fù)合梯形求積公式將區(qū)間[a,b]分為n等分，，在每個(gè)子區(qū)間[]上采用梯形公式，那么有上述公式稱為復(fù)合梯形公式令那么（1）討論（1）的余項(xiàng)30對(duì)上式求和有由于利用利用（收斂性）（II）復(fù)合Simpson求積公式將區(qū)間[a,b]等分為n個(gè)子區(qū)間，，在每個(gè)子區(qū)間[]上采用Simpson公式其中上述公式稱為復(fù)合Simpson30求積公式。令，那么設(shè)例若用復(fù)合梯形公式求的近似值

6、，問要將積分區(qū)間[0，1]分成多少份才能保證計(jì)算誤差≤？若用復(fù)合Simpson求積公式呢？解，復(fù)合梯形公式余項(xiàng)若用復(fù)合梯形公式求的近似值，需將[0，1]分成41等分才能保證計(jì)算結(jié)果有4位有效數(shù)字。用復(fù)合Simpson求積公式30，取，只需要將[0，1]分成2等分例給定積分當(dāng)要求誤差小于10時(shí)，用復(fù)合梯形求積公式和復(fù)合Simpson求積公式計(jì)算時(shí)所需節(jié)點(diǎn)數(shù)及步長(zhǎng)分別為多少？解設(shè),將區(qū)間[1，3]等分為n等分，復(fù)合梯形公式要使30取復(fù)合Simpson公式取節(jié)點(diǎn)§3Romberg求積公式（I）外推技巧復(fù)合梯形求積[a,b]分n等分，如果那么若,用來表示30可以看出，這種方法稱為“外推技巧

7、”。更一般的有定理定理　設(shè)是Q的兩個(gè)逼近，并有那么　證明　用乘?。ǎ玻┦降膬蛇叄瑴p去（１）式就得到（３）式。此時(shí)記　　　　　　　　　30（II）Romberg求積令由外推得T（j,k）。由兩個(gè)低階數(shù)值積分外推得到高階數(shù)值積分的算法稱為Romberg求積公式。①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩具體計(jì)算過程將區(qū)間分半，對(duì)區(qū)間作等分，30求得。否則，例，用Romberg積分法求的近似值解j0①1.85914091②1.7539311③1.71886122④1.7272219⑤1.7183