抽象函數(shù)問題的處理策略

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1、抽象函數(shù)問題的處理策略江陰長涇中學(xué)劉云彬郵編：214411抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式，只是給出一些特殊條件的函數(shù)，它是中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點.因為抽象，學(xué)生難以理解，接受困難；因為抽象，教師對教材難以處理，何時講授，如何講授，講授哪些內(nèi)容，采用什么方式等等，深感茫然無序.其實，大量的抽象函數(shù)都是以中學(xué)階段所學(xué)的基本函數(shù)為背景抽象而得，解題時，若能從研究抽象函數(shù)的“背景”入手，根據(jù)題設(shè)中抽象函數(shù)的性質(zhì)，通過類比、猜想出它可能為某種基本函數(shù)，?？梢挼媒忸}思路，本文就上述問題作一些探討.1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)

2、f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）例1、已知函數(shù)對任意實數(shù)x，y，均有，且當(dāng)時，，，求在區(qū)間[－2，1]上的值域。解：設(shè)，則，∵當(dāng)時，，∴，∵，∴，即，∴為增函數(shù)在條件中，令y＝－x，則，再令x＝y(tǒng)＝0，則，∴，故，為奇函數(shù)，∴　，又，∴的值域為［－4，2］。例2、已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且當(dāng)x>0時，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式的解.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后

3、脫去函數(shù)符號.2、二次函數(shù)型抽象函數(shù)————二次函數(shù)型抽象函數(shù)即由二次函數(shù)抽象而得到的函數(shù)若抽象函數(shù)滿足，總有，則可用二次函數(shù)為模型引出解題思路；例3、已知實數(shù)集上的函數(shù)恒滿足,方程=0有5個實根,則這5個根之和=_____________分析：因為實數(shù)集上的函數(shù)恒滿足,方程=0有5個實根，可以將該函數(shù)看成是類似于二次函數(shù)為模型引出解題思路，即函數(shù)的對稱軸是，并且函數(shù)在，其余的四個實數(shù)根關(guān)于對稱，解：因為實數(shù)集上的函數(shù)恒滿足,方程=0有5個實根，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以方程的五個實數(shù)根也關(guān)于直線對稱，其中有一個實數(shù)

4、根為2，其它四個實數(shù)根位于直線兩側(cè)，關(guān)于直線對稱，則這5個根之和為103、指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝例4、設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)。其圖象關(guān)于直線y＝x對稱，對任意x1，x2，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，且f(1)＝a＞0．(Ⅰ)求及；(Ⅱ)證明f(x)是周期函數(shù)；(Ⅲ)記，求．(Ⅰ)解：可以考慮指數(shù)函數(shù)的模型指導(dǎo)解題的思路，例如運(yùn)用函數(shù)由知：用心愛心專心118號編輯-5-≥0，x∈[0，1]∵，f(1

5、)＝a＞0，∴∵，∴(Ⅱ)證明：依題設(shè)y＝f(x)關(guān)于直線x＝1對稱，故f(x)＝f(1＋1－x)，即f(x)＝f(2－x)，x∈R又由f(x)是偶函數(shù)知f(－x)＝f(x)，x∈R將上式中－x以x代換，得f(x)＝f(x＋2)，x∈R這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期．(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知f(x)＞0，x∈[0，1]∴∵f(x)的一個周期是2，∴，因此∴．例5、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，對于任意實數(shù)m、n，總有，且時。（1）證明：f(0)=1，且x<0時f(x)>1；（2）證明：f(x)在R上單調(diào)

6、遞減；（3）設(shè)，若，確定a的范圍。（1）證明：令，已知時，設(shè)，，，即當(dāng)x<0時f(x)>1（2），則f(x)在R上單調(diào)遞減。（3）f(x)在R上單調(diào)遞減用心愛心專心118號編輯-5-（單位圓內(nèi)部分）（一條直線）例6．定義在R上的函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，總有，且當(dāng)時，．（1）試求的值；（2）判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)，若，試確定的取值范圍．（4）試舉出一個滿足條件的函數(shù)．解：（1）在中，令．得：．因為，所以，．（2）要判斷的單調(diào)性，可任取，且設(shè)．在已知條件中，若取，則已知條件可化為：．由于，所以．為比較的大小，

7、只需考慮的正負(fù)即可．在中，令，，則得．∵時，，∴當(dāng)時，．又，所以，綜上，可知，對于任意，均有．∴．∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減．（3）首先利用的單調(diào)性，將有關(guān)函數(shù)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含的式子．用心愛心專心118號編輯-5-，即．由，所以，直線與圓面無公共點．所以，．解得：．（4）如．點評：根據(jù)題意，將一般問題特殊化，也即選取適當(dāng)?shù)奶刂担ㄈ绫绢}中令；以及等）是解決有關(guān)抽象函數(shù)問題的非常重要的手段；另外，如果能找到一個適合題目條件的函數(shù)4、對數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋

8、f（y）；f（）＝f（x）－f（y）例7、已知函數(shù)滿足定義域在上的函數(shù)，對于任意的，都有，當(dāng)且僅當(dāng)時，成立，（1）設(shè)，求證；（2）設(shè)，若，試比較與的大小；（3）解關(guān)于的不等式分析：本題是以對數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)，可以參考對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)解題證明：（1）∵，∴，∴（2）∵，∴，即∵當(dāng)且僅當(dāng)時，成立，∴當(dāng)時，，∴，（3）令代入得，，∴關(guān)于的不等