抽象函數(shù)問(wèn)題的求解策略

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1、抽象函數(shù)問(wèn)題的求解策略抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出函數(shù)的具體解析式，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則的函數(shù)問(wèn)題。抽象函數(shù)一般是給出一個(gè)函數(shù)方程（或不等式）及一些特殊值的函數(shù)值，考察函數(shù)的常見(jiàn)性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，或解不等式、求函數(shù)值等。在新課程標(biāo)準(zhǔn)下，抽象函數(shù)的要求降低了很多，教師若能通過(guò)對(duì)抽象函數(shù)問(wèn)題的訓(xùn)練，對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、提高學(xué)生的邏輯思維能力，及對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的挖掘都有很大幫助。筆者就在教學(xué)中常見(jiàn)的抽象函數(shù)問(wèn)題做了簡(jiǎn)要總結(jié)。　　一抽象函數(shù)定義問(wèn)題　　例1，（1）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1］，求函數(shù)f（2x＋1）的定義域；（2）已知函

2、數(shù)f（2x＋1）的定義域?yàn)椋?，1］，求函數(shù)f（x）的定義域?！　》治觯捍祟悊?wèn)題一是要理解函數(shù)的概念，尤其是對(duì)符號(hào)“f”的理解，“f”是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，它作用于其后所跟字母表達(dá)式整體，其后所跟字母表達(dá)式整體的對(duì)應(yīng)關(guān)系一樣，整體范圍也一樣。二是定義域的含義，是指其中變量x的取值集合?！　〗猓海?）∵f（x）的定義域?yàn)椋?，1］?！　　?≤2x＋1≤1?！　〗獾茫躼≤0?！　　鄁（2x＋1）的定義域?yàn)椋郏?］。　?。?）∵f（2x＋1）的定義域?yàn)椋?，1］?！　　?≤x≤1，∴1≤2x＋1≤3?！　　鄁（x）的定義域?yàn)椋?，3］?！　《橄蠛瘮?shù)性質(zhì)問(wèn)題　　例2，已知函數(shù)

3、f（x）對(duì)任意的a，b∈R，都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b）－1并且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1?！　。?）求證函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；　?。?）若f（4）＝5，解不等式f（3m2－m－2）＜3?！　》治觯簩?duì)抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，因其沒(méi)有具體表達(dá)式，故只能用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明。對(duì)抽象函數(shù)不等式問(wèn)題，應(yīng)利用函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式進(jìn)行求解。　　解：（1）證明：設(shè)－∞＜x1＜x2＜＋∞?！　tf（x2）－f（x1）＝f（x2－x1＋x1）－f（x1）　?。絝（x2－x1）＋f（x1）－1－f（x1）＝f（x2－x1）－1　　∵x2－x1＞

4、0，∴f（x2－x1）＞1。　　∴f（x2－x1）－1＞0，f（x2）－f（x1）＞0?！　　鄁（x2）＞f（x1）。　　∴函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)。　?。?）∵f（4）＝5?！　　鄁（4）＝f（2＋2）＝f（2）＋f（2）－1＝2f（2）－1＝5?！　　鄁（2）＝3?！　　嘣坏仁絝（3m2－m－2）＜3，即f（3m2－m－2）＜f（2）。　　又∵函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)。　　∴3m2－m－2＜2，即3m2－m－4＜0，解得－1＜m＜?！　　嘣坏仁降慕饧癁椋ǎ?，）?！　±?，已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）?！　。?）求

5、證：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；　?。?）如果x∈（0，＋∞）時(shí)，f（x）＜0，并且f（1）＝　?。?，試求f（x）在區(qū)間［－2，6］上的最值?！　》治觯撼橄蠛瘮?shù)奇偶性的證明就是用奇偶性的定義證明，最值可通過(guò)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為求值問(wèn)題，而抽象函數(shù)的求值問(wèn)題可利用賦值法求解。　　解：（1）證明：函數(shù)定義域?yàn)镽，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?！　　遞（x＋y）＝f（x）＋f（y），令x＝y(tǒng)＝0，得f（0）＝f（0）＋f（0），得f（0）＝0。　　令y＝－x，則f（0）＝f（x）＋f（－x）?！　　鄁（x）＋f（－x）＝0，∴f（－x）＝－f（x）?！　　鄁（x）為奇函數(shù)?！　。?）解：設(shè)－∞＜

6、x1＜x2＜＋∞。　　f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1＋x1）－f（x1）＝f（x2－x1）＋f（x1）－f（x1）＝f（x2－x1）。　　∵x2－x1＞0，∴f（x2）－f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1）?！　　鄁（x）在R上單調(diào)遞減?！　　鄁（x）在區(qū)間［－2，6］上的最大值為f（－2），最小值為f（6）?！　　遞（1）＝－，∴f（－2）＝－f（2）＝－2f（1）＝1，　　f（6）＝6，f（1）＝－3?！　　鄁（x）在區(qū)間［－2，6］上的最大值為1，最小值為－3。　　三抽象函數(shù)解析式問(wèn)題　　例4，已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y均有f（x＋y）－f（y

7、）＝x（x＋2y＋1）成立，且f（1）＝0，求解解析式?！　》治觯撼橄蠛瘮?shù)的解析式問(wèn)題一般用賦值法求解。　　解：∵函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y均有f（x＋y）－f（y）＝x（x＋2y＋1）成立，且f（1）＝0，令x＝1，y＝0，得f（1）－f（0）＝2，∴f（0）＝f（1）－2＝－2?！　≡趂（x＋y）－f（y）＝x（x＋2y＋1）中再令y＝1得，f（x）－f（0）＝x（x＋1）?！　　鄁（x）＝f（0）＋x（x＋1）＝x2＋x－2?！　　鄁（x）＝x2＋x－2?！　⊥ㄟ^(guò)對(duì)以上幾個(gè)例題的分析，可以看出對(duì)不同類型的抽象函數(shù)問(wèn)題，應(yīng)用不同的求解策略，常用